3x+1的数学问题

大家知道一个斐波那契数列的故事，由兔子繁殖引出的著名数学问题，其中一些内容至今无法解答。下面同样是一个养殖的故事，产生的问题难倒了所有的数学家。

生态农业的问题

一、故事起源

印度有一个农民同时养殖鸡、蛇和蜈蚣。

但是有一个困难，苦恼这个农民，鸡要吃蜈蚣，或者蛇要吃鸡，但是，蜈蚣要咬死蛇。于是有人出主意，把三种动物一起养殖试试?

于是，农民把三种动物都是单独关在一个笼子里，每一个笼子都是有一只鸡，一条蛇和一条蜈蚣进蜈蚣组合。

创新一种生态养殖业。

结果发现，三种动物互为死敌，但是非常安全，鸡知道自己如果吃了蜈蚣，蛇就没有天敌，蛇就会吃了自己;蛇也知道，如果自己吃了鸡，蜈蚣就没有天敌，自己就会被蜈蚣咬死;蜈蚣也是懂得不能咬死蛇，否则，自己就会成为鸡的午餐。

一天，农民出门去了，他的儿子在家，想趁爸爸不在，弄一只鸡吃，于是，他从一个笼子里抓了一只鸡吃了。这个笼子的蜈蚣发现没有了天敌鸡，顺便就咬死了蛇。为了不让爸爸回来发现自己吃了一只鸡，儿子打算把那个笼子的蛇和蜈蚣合并到其他笼子里，结果一看，只有一条蜈蚣，于是顺手把蜈蚣扔进第二个笼子。

第二个笼子有两条蜈蚣了，一共有4只动物。会出现什么情况?鸡会这样想，我可以先吃一条，不会影响平衡。鸡如是吃了一条蜈蚣，打算留下一条蜈蚣，但是这个时候蛇看到鸡吃蜈蚣，并没有发现还有一条蜈蚣，如是把鸡给咬死吃了。

哪里知道儿子是个健忘的人，又把幸存的蜈蚣扔进第三个笼子，....。一直到所有的鸡和蛇、蜈蚣都被消灭，最后只剩下一条蜈蚣。

有人把这个故事归结为4-2-1循环。

参见3x+1猜想：https://baike.so.com/doc/9544304-9888891.html

二、故事扩展到任何一个数

角谷静夫是日本的一位著名学者.他提出了两条极简单的规则，如果一个自然数x是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，一直到使得成为奇数。可以对任何一个自然数进行变换，最终使它陷入“4-2-1”的死循环。

举个例子，最开始的数取7，我们得到下面的序列:

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

(一)把问题公式化理论化

我把角谷猜想规则用公式表示：

通过下面公式迭代，我们把3x+1问题转换成为一个迭代方程，也就纳入了一个控制论的体系了，因为，只要有输入，输出，反馈.....等等，我们实际上已经进入了控制理论。

，.........(1)

这里公式中每一个X 都是奇数，m=1,2,3，....。m直到把3X+1中的偶数析出抵消，使得(1)式右边是奇数为止。

如果不是1而是其他奇数，就继续迭代。一直到1为止。

即使得(1)式等于1：

，....

(二)举例

例如，

1 ，代入公式：

结束。例如，

3，

;

，结束。

角谷是说，输入X=1，3，5，7，9，11，....任何一个奇数，直至无穷，经过(1)迭代，都是(1)式等于1。

三、问题难倒了全世界的数学家

需要证明两个结论以后才有可能完成：

1、任何一个X值 进入迭代以后不会回到自身，就是不会发生循环。如果发生循环，表明是一个反例，否定了角谷猜想。

2、X 进入迭代以后数值不会发散，就是不会越来越大直至无穷，而是在一个有限的范围内更替。

四，倒行逆施

由 把(1)式中的

, 在(2)式一步到位等于1的有

形的数： 5， 21， 85， 341，1365， 5461， 21845， .....。因为这个

是把(2)式反推的结果。

在(3)式二步到位等于1的有

形的数：3，13，53， 113， 227， 909，....。因为这个

是把(3)式反推的结果。

在(4)式三步到位等于1 3的有

形的数：11，17， 75，301，1205，...。因为这个

是把(4)式反推的结果。

.............

我们可以一直进行下去：

3x+1猜想其实就是说，无论

是什么奇数值，最终会使得(5)式中分子=分母。例如，

=27，n=40时，分子=分母。

3x+1猜想反过来说就是：

;

，

，

可以构造一切奇数，或者说，奇数轴上每一个点，都是可以由这个数列产生的奇数覆盖。

问题进入了一个形式化的阶段

这个猜想是不是递归可枚举集?下一步如何证明?是否可以利用(5)式证明猜想成立，或者证明迭代不会循环。