牟合方盖是什么？

牟合方盖是由在我国古代数学家刘徽最先发觉并选用的一种用以测算球体体积的方式。因为其选用的实体模型像一个牟合的正方形小盒子，故称之为牟合方盖。（古时候大家称伞为“盖”，“牟”同侔，意即相配。）

实际上在我国很早已有些人开始了球体体积的科学研究，《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中所谓的设立圆术，“置积尺数，以十六乘之，九而一，个人所得开立方除之，即立圆径。”设d表明球的直徑，V球表明球的体积，则有。

刘徽为《九章算术》作注时对这一公式计算明确提出了提出质疑说：“以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多。相互之间通补，是以九与十六之率，偶与实相仿，而丸犹伤多耳。”它用每侧为一寸的立方体棋盘八枚，拼出一个周长为2寸的立方体，在立方体内画内切圆柱，再在横着画一个一样的内切圆柱。那样2个圆柱体所包括的立体式相互一部分像俩把左右对称性的伞，刘徽将其起名叫“牟合方盖”。依据测算得到球体积是牟合方盖体积的四分之三，但是圆柱又比牟合方盖大，可是《九章算术》中得到球的体积是圆柱体积的四分之三，显而易见《九章算术》中的球体积计算方法是不正确的。

刘徽确认了《九章算术》中的公式计算不正确，而且他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的之比4：π，要是有方式找到“牟合方盖”的体积便可。可是，刘徽自始至终不可以处理这个问题，他明确提出的解决方案是测算出“外棋”的体积，但因为“外棋”的样子繁杂，自始至终沒有取得成功，无可奈何只能留到有能之士企图处理的方式：“观立方米以内，盒盖以外，虽衰杀有渐，而是多少不掩。判合小结，周围相缠，浓纤诡互，不能等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”

直到二百多年后，袓冲之和他的孩子祖暅沿袭了刘徽的念头，运用“牟合方盖”完全地解决了球体体积公式计算的难题。她们的方式是将原先的“牟合方盖”均值分成八份，取它的八分之一来科学研究。

她们先考虑到一个由八个周长为r的正正方体构成的大正正方体（如图所示1），随后用制做“牟合方盖”的方式把这个大正正方体切分，再取在其中一个小正正方体一部分作切分，切分的結果如图2，它的体积为“牟合方盖”的八分之一，而一部分就是三个“外棋”。

接下去，祖冲之父子俩考虑到这一小正方体的横剖面。设由小正方体的底至横剖面高宽比为h，三个“外棋”的横剖面总面积的总数为S，小牟合方盖的横剖面周长为a，依据“勾股定理”有a²=r²-h²。此外，由于S=r²-a²因此S=r²-(r²-h²)=h²，因而，针对全部的h而言，这一結果也是不会改变的。

祖氏父子俩便从而考虑，她们取一个底方每侧之长度多都相当于r的方锥，倒立起来回来，与三个“外棋”的体积的和开展较为。设由方锥端点至方锥横截面的高宽比为h，不会太难发觉针对一切的h，方锥横截面总面积也必为h²。也就是说，尽管方锥跟三个“外棋”的样子不一样，但因他们的体积都能够用横截面总面积和高宽比来测算，而在等高空的横截面总面积一直相同的，因此他们的体积也是相同的，因此祖氏云：“缘幂势既同，则积不可异。”

因此，外棋体积之和=方锥体积=小正方体体积/3=r³/3

即：

小牟合方盖体积=2r³/3

牟合方盖体积=16r³/3

因而，球体体积=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3

这一公式计算也就是宣布的球体体积公式计算。