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绝对值不等式性质及公式

科普小知识2021-12-18 17:37:44
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 绝对值不等式

简介

在不等式应用中,经常涉及重量、面积、体积等,也涉及某些数学对象(如实数、向量)的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。

公式:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

性质

|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。

两个重要性质:1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

2.|a|<|b|可逆a²<b²

另外

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时左边等号成立,ab≥0时右边等号成立。

|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时左边等号成立,ab≤0时右边等号成立。

几何意义

1.当a,b同号时它们位于原点的同一边,此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。2.当a,b异号时它们分别位于原点的两边,此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。

(|a+b|表示a-b与原点的距离,也表示a与b之间的距离)

绝对值重要不等式

我们知道

|a|={a,(a>0),a,(a=0),﹣a,(a<0),}

因此,有

﹣|a|≤a≤|a|

﹣|b|≤b≤|b|

同样地

①,②相加得

﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

即|a+b|≤|a|+|b|

显而易见,a,b同号或有一个为0时,③式等号成立。

由③可得

|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|,

即|a|-|b|≤|a+b|

综合③,④我们得到有关绝对值(absolutevalue)的重要不等式

|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|