一个规划的大纲

上伏尔加河数学研究所的图片展示了亚历山大·格罗滕迪克的计划大纲

“由于大学里的教学和研究的结合对我来说越来越不切实际，我决定申请加入CNRS，以便把我的精力投入到某些工作和观点的发展上，因为现在很明显，在发展这些工作和观点的过程中，不会有学生(甚至是同行业的数学家)代替我。”

(Comme la conjunction actuelle rend de plus en plus illustriore for moi les perspectives dun esignement de rechercheàl ' universite，je me suis résoloàdemand mon accession of CNRS，pouvoir conser monéenergyàdévelopper des travaux et perspectives not il devient clair quéil ne se trouvera aucunélève(ni me，assemble-t-il，aucunénére mathematiciien)pourédévelopperàma place .)

当亚历山大·格罗滕迪克在蒙彼利埃写下这些诗句时，是在1984年的一天，他57岁了，经历了太多。20世纪70年代，他加入了嬉皮士的行列，与制度和战争进行了激烈但徒劳的斗争。20世纪60年代，他在法国高等研究院日夜奋战，不断以深刻的洞察力重塑代数几何，带领法国最尖端的数学天才解决最困难的问题。20世纪50年代，他进入了法国数学界的温暖怀抱，并以高度抽象的思维出现。还有流浪的童年和青年。所有这一切都过去了，现在他又回到了作为数学家的起点——蒙彼利埃大学——作为一名教授，但他也厌倦了教学。

他有一千句话要说，但他也很清楚，他面前的书页不适合记忆。旁边厚厚的“简历和简历”手稿是这些思考的地方。他现在想写的是未来科学研究的计划。坦率地说，这是一份求职文件。他正在申请CNRS的研究职位，这可以免除他的教学义务，让他专注于数学研究。他获得了菲尔兹奖，但拒绝了克劳福德奖。这些是数学的最高荣誉。他们对他来说无关紧要。他只需要继续他的探索。

他不喜欢这个系统。纳粹彻底摧毁了他的童年，这可能是他反制度和反战思想的来源。正是因为法国高等研究院收到了军方的几笔资助，他才愤怒地离开了数学天堂，转而参加了积极的社会活动。现在他又回到了系统中，他心里可能有些挣扎。然而，他已经决定，即使他回到系统，他将坚决拒绝腐蚀和绝对不会履行所谓的“义务”，违背他的良心。

但是他对数学真理的好奇和渴望可能根植于他内心深处。同样的愿望促使他着手重建代数几何——这是数学的一个完整分支——并在此过程中取得了无数深刻的成果。现在，他看到了一片肥沃的处女地，但是没有人愿意和他一起工作。他可能不习惯。他在法国高等研究院的时候，是一名领导者。有多少人专程去巴黎郊区的伊夫堡听他的话。这是一次小小的旅行，现在连轻轨都要花半个多小时。他不知道他在20世纪70年代的鲁莽抵抗在一定程度上损害了他的声誉。既然没有人做这件事，他只能自己做。他可能这么认为。

法国高级研究所，*照片

泰克米勒等级制度，绝对的女孩。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)函数，有限域上的正多面体，温顺拓扑(拓扑模型)...他的作品倾吐了他近年来所关心的数学领域和数学对象，这篇文章有48页，不包括笔记。

所有这些想法实际上都是他在另一份文件中写的，即《隆格进行曲》。然而，这份1300页的手稿完成于1981年，是为了他自己而写的。即使给别人看，可能也没有多少人有耐心去读。1300页可能很长，但对于一直努力工作的格罗滕迪克来说，这算不了什么。在他的黄金时代，有时为了节省时间，他只吃香蕉和牛奶，除了休息，他整天都在学习代数几何，但这并没有影响他敏锐的思维和清晰的写作。然而，在申请工作的文件中直接引用“从伽罗瓦理论到长征”显然是不合适的。他面对的审查委员会不可能知道他研究的所有细节。他需要从基础开始，简明扼要地阐述他的想法。

这份工作申请文件是“埃斯基斯敦计划”。也许数学史上没有其他工作申请文件像它一样充满洞察力。它已经很长时间没有正式出版了，只是私下在数学界流传。然而，它对数学的影响可能比大多数官方发表的数学论文更大。它开创了代数几何的一个新领域，称为远代数几何。是的，这是由新一望月研究的远阿贝尔几何。

推动他建立这个系统的关键因素是两个地图和比雷定理。所有两个映射都可以给出一条相应的光滑代数曲线，但是所有的光滑代数曲线都可以这样得到吗？

“这个假设在当时看起来很荒谬，我甚至不敢问这个领域的专家这个问题。我问迪林，他认为这真的很离谱，但手头没有反例。不到一年后，苏联数学家贝雷在赫辛斯基举行的国际数学家大会上宣布了这一结果。他的证明是如此简单，以至于在迪林的信中只花了两页——也许以前从来没有用这么少的几行字就证明了如此深刻和美妙的结果！”

(Une telle avait l ' airàtell point dinue que jétais presque gêne de la soumetre aux competencies en la matière .很高兴能在有效的情况下进行咨询，但在某些情况下，我们不能公开反对。在赫尔辛基的国际大会上，比利时的数学宣布了一项公正的结果，一个简单的示范沙丘被取消了一定的承租人，在第二页上写了一封信，这是一封没有经过进一步讨论和进一步*的证明的信！)

值得一提的是，迪林是格罗滕迪克的学生，也是菲尔兹奖获得者。在格罗滕迪克孤独的岁月里，迪林几乎是他数学新进展的唯一源泉。如你所见，啤酒定理给格罗滕迪克带来了多么大的冲击！他把与别雷定理相对应的两个映射称为“dessin denfant”。就连孩子们能方便画出的东西也包含着如此丰富的数学内涵！这也打开了一个新想法的大门:也许通过研究非常简单易懂的数学对象，如组合地图，人们可以探索代数几何的更深层次结构，这是一个困难的课题。在计划大纲中，他讨论了这种可能性。

在代数数论中，所谓的“有理数的绝对伽罗瓦群”Gal。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)在研究中占有重要地位。不要被看似复杂的符号吓倒。这只是一个代号。可以说，代数数论中的大部分研究最终都与这个群体有关。我们知道，群描述对称，而绝对伽罗瓦群描述“对称”。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)描述所有代数数的对称性(即整个系数方程的根)。gal (q/q)的每个元素都是代数数集的对称变换，但每个有理数保持不变。这种对称变换也称为有理数的伽罗瓦变换。但是到目前为止，我们仍然没有机会看到这个群体的全貌。我们对“交换”(即满足ab=ba)有相当透彻的理解，但这个群体的微妙之处在于它的“非交换”，即“非亚伯”部分，对此我们仍然知之甚少。对于整个绝对伽罗瓦群。(问答；关于/q) > gal (q/q) gal (q/q)的结构的研究是代数数论和代数几何的重要课题之一。格罗滕迪克的“远阿贝尔几何”实际上是研究绝对伽罗瓦群的一种尝试。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)，甚至是任意域的绝对galois群，或者更广义的“任意代数簇的平坦基本群”(代数变种的é tall基本群)，它们的“远离阿贝尔”部分如何影响相应代数结构的几何性质。

代数数，较小的系数，较大的光点，来自*，原作者斯蒂芬·布鲁克斯

格罗滕迪克指出，加仑。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)可以应用于所有儿童的涂鸦，因为每个儿童的涂鸦对应于一条光滑的代数曲线，即一个其系数是代数数的多项式，而绝对伽罗瓦群Gal’则是一条光滑的代数曲线。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)作为代数数的对称群，当然可以通过系数的对称变换间接地作用于二部映射。不仅如此，这个角色是“忠实的”，也就是说，通过对绝对伽罗瓦群的研究。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)对所有儿童涂鸦的群体本身进行研究。

在绝对伽罗瓦群中。(问答；/q)> gal(q/q)gal(q/q)中最简单的非平凡变换是复共轭，也就是说，虚部i>ii被-取代；i > ii的转换。根据高中数学知识，在复平面上，复共轭是沿实数轴的镜像对称，因此它作用于儿童涂鸦，获得儿童涂鸦的镜像对称。如果孩子涂鸦的镜像对称是它自己的，根据比勒菲尔德定理，复共轭必须作用在相应的代数曲线上才能得到原始的代数曲线，也就是说，所有的系数都是实数。如果两个孩子的涂鸦是彼此的镜像，那么它们对应的代数曲线的系数必须彼此共轭，也就是说，至少有一些系数是虚构的。这是我们先前推测的理论基础。

共轭对称的两个例子

然而，复共轭毕竟是最简单的变换，其他对称变换具有更复杂的结构。光滑的代数曲线(即儿童涂鸦)有许多对称性。对于某些对称，有没有办法知道它是否来自绝对伽罗瓦群？(问答；/q)>加仑(q/q)加仑(q/q)？如果我们知道这一点，它就相当于描绘了绝对伽罗瓦群“伽尔；(问答；/q)>加仑(q/q)加仑(q/q)本身。但是这是一个极其困难的问题。格罗滕迪克当时有一些初步想法，但这远远不够。如果我们仅仅依靠儿童涂鸦的综合性质，我们就能描绘出绝对的“高尔”。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)，这将动摇代数几何的领域:代数几何中深刻的结论实际上可以从更简单的基本组合数学中得出。

儿童涂鸦有许多组合不变量，这是在加尔。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)在变换下保持不变:顶点数、顶点度、面数、面度等。除了这些看似简单的不变量之外，我们还可以给每个儿童涂鸦一个组，这个组被称为“单值儿童涂鸦组”，有时也直接称为“地图组”。这些映射群具有更复杂的结构，但它们也在绝对伽罗瓦群中。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)在变换下保持不变。格罗滕迪克希望在许多组合不变量中找到一个合适的组合来描述绝对伽罗瓦群。(问答；/Q)>加仑(Q /Q)Gal⁡(Q /Q).

注意:然而，事情并不像人们希望的那样好。事实上，不变量的简单组合不足以实现这一点。兹沃金举了一个例子来说明两个不同的孩子的涂鸦是否能通过绝对伽罗瓦群。(问答；/q)> gal(q/q)gal(q/q)的作用是联系在一起的，有时还需要考虑数论的一些性质。数学家们正在研究这种情况何时发生以及为什么会发生。

但这只是故事的开始。格罗滕迪克认为所谓的泰克米勒等级制度(tour de Teichmuller)，其定义非常抽象，但绝对加仑。(问答；/q) > gal (q/q) gal (q/q)也可以作用于它。这个泰克米勒层次结构由无数复杂的数学对象层层组成。根据格罗滕迪克的观点，从泰克缪勒等级开始研究有理数上的远阿贝尔几何可能是一个更好的方法。他认为，所有较高层次的泰克米勒可以通过前两层结合，第一层提供元素，第二层提供元素之间的关系。前两层对应于光滑的代数曲线(即儿童涂鸦)，而第二层对应于椭圆曲线，椭圆曲线在数论中被广泛使用。这为研究儿童涂鸦提供了充分的动机。

在这里阅读的读者可能会有一种不确定的感觉。这很正常，作者也花了很多时间，向不同的人请教，才勉强掌握了整个远在格罗滕迪克的亚伯收藏计划的轮廓。当格罗滕迪克写作时，他写得优美而清晰。这个“计划大纲”也不例外。但是他谈论的数学太抽象，难以理解。然而，这是格罗滕迪克的数学风格:尽可能从数学对象中抽象出不必要的细节。如此抽象的数学家会认为其余的都是“虚荣心”。然而，他仍然可以从“虚荣心”中把握一些东西来建立他的理论并完成他的证明。根据格罗滕迪克自己的说法，如果把数学问题比作坚果，大多数数学家所做的就是用锤子和凿子敲碎坚果，他的方法是将坚果浸泡在水中，慢慢软化它们的壳，或者让它们暴露在风和阳光下，然后等待合适的时间，坚果就会自然地裂开。

当然，坚果应该放在正确的地方，否则...这张图片来自*，作者彼得·切林。

对大多数数学家来说，这个过程太长了。也许只有有深刻洞察力的格罗滕迪克才能在一个可接受的时间内解决问题。这也是他的数学难以理解的原因之一:他几乎不考虑具体的例子，他尽可能从抽象的角度思考某个数学问题背后的宏大的数学结构。有时候这会成为一个笑话。有一次讨论数学时，有人建议格罗滕迪克考虑用一个特定的素数作为例子。“你是想找一个实数吗？”格罗滕迪克有点困惑。对方点了点头。他回答说，“好吧，让我们考虑素数57。”当然，57不是质数，但格罗滕迪克可能没有注意到这一点。他从不考虑具体的例子，一切都从抽象开始。

现在，以同样的抽象风格，格罗滕迪克在《规划纲要》中留下了伟大的理论框架——远亚伯几何，其中儿童涂鸦也占有一席之地。他的计划是逐渐丰富这一理论的内容。

很遗憾，他没有等到理论完善的那一天。

尽管他的研究计划充满了真知灼见，但格罗滕迪克提交给CNRS的工作申请让CNRS的经理们头疼不已。在求职文件中，他特别写了一封信，列出了一些CNRS员工的义务，如果被CNRS雇佣，他将拒绝履行这些义务。他的数学能力是毫无疑问的。在20世纪60年代加入法国高等研究院之前，他也是一名CNRS研究员(矩阵研究)，但可能没有一个*组织愿意接受像他这样的反系统的讽刺。最后，在许多数学家的调解下，CNRS以一种特殊的方式“雇佣”了格罗滕迪克:他仍然保留着大学里的职位，但CNRS负责他的薪水。因此，他名义上仍是一名大学教授，但因为薪水来自CNRS，他不需要承担任何教学义务。而且因为他名义上还是一名大学教授，他不需要承担CNRS员工的义务。从那以后，他涉足的大学越来越少，直到四年后的1988年他正式退休。

晚年，他的思想在混乱中无休止地挣扎。1990年，他把一些数学论文、时事通讯和手稿交给了他的学生马尔戈瓦。与此同时，他烧毁了大部分非数学手稿，总计约25，000页，全部被烧毁。因此，我们现在无法知道他童年的具体经历。他逐渐切断了与数学的联系，藏在比利牛斯山脚下的一个小村庄里，过着隐居的生活。然而，他在远阿贝尔几何方面进展甚微。

最后，在2014年11月13日，他永远切断了与世界的联系。

比利牛斯山脉，*上的照片

在计划大纲中，格罗滕迪克提议通过研究儿童涂鸦来研究法阿贝尔的几何。但是对儿童涂鸦的研究并不像预期的那样成功。许多数学家被《规划纲要》中的深邃视野所吸引，致力于儿童涂鸦的研究。他们也取得了一些成果，但离最初的目标还很远。

这不是格罗滕迪克的研究项目第一次遭受挫折。早在20世纪60年代的黄金时代，他就提出了一系列被称为“标准猜想”的猜想。事实上，他推测在所谓的“代数多样性”背后有一些非常深刻的算术结构。一旦标准猜想被证明，代数数论中的许多猜想，如著名的威尔猜想，都可以很容易地被证明。事实上，这也是格罗滕迪克标准猜想的目的。他的学生迪林终于在1973年证明了最后一个韦尔猜想，但没有遵循标准猜想。迪林想到了一种绕过标准猜想的方法，并使用了一种更“经典”的技术来完成证明。即使是今天，标准的猜想仍然悬而未决，没有人能看到解决方案的曙光。

尽管它与计划不同，远在阿贝尔的几何学本身已经取得了巨大的进步。日本数学家望月信一在1996年的《计划大纲》中证明了格罗滕迪克关于远阿贝尔几何猜想的特例。他很快在数学领域成名，并被邀请在1998年国际数学家大会上发表45分钟的演讲，这是数学领域的一大荣誉。在积累了一段时间的力量之后，2012年，新一望月在他的个人主页上发表了四篇文章，宣布他已经解决了数论中一个突出的重要猜想——ABC猜想。他使用的工具是远阿贝尔几何，但不仅仅是远阿贝尔几何。

照片来自他的学术主页http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/top-english.html

在他的四篇文章中，町村信一基于他对远阿贝尔几何的研究提出了一套新的理论:宇宙间的泰克米勒几何。还记得格罗滕迪克的泰克米勒等级制度吗？町村信一的理论可能意味着仅仅考虑一个单一的泰克缪勒等级是不够的。有必要使用一些方法来引入不同的“变型Teichmuller空间”(更准确地说，“P元Teichmuller空间”的变型)，然后考虑它们及其关系，以便更好地理解整个结构。当然，实际情况并不像听起来那么简单。有必要定义这些数学对象，甚至“转换”诸如“乘法”这样的基本数学概念。为了研究这些结构，新一望月也开发了许多工具，填充了四篇文章，总共超过500页。

在发展这一理论的过程中，新一望月的风格与格罗滕迪克的风格完全相同:在抽象的结构中慢慢解决问题，直到解决方案变得自然。这也使得他的论文特别难以理解，因为要理解他对贝克曼猜想的证明，首先必须理解他的宇宙学泰克米勒几何，而这个理论，顾名思义，是用一种非常抽象和难以启齿的外星语言写成的。据说世界上只有四个数学家理解了这个证明，除了新一望月本人。我们仍然不知道新一町的证明是对还是错，但在讨论对与错之前，他在远阿贝尔几何学中发展的新理论无疑是值得钦佩的。

至于儿童涂鸦，虽然它对远离亚伯的几何学研究贡献不大，但它在其他领域显示出巨大的力量。

让我们回顾一下比尔定律:每个孩子的涂鸦都对应于一条光滑的代数曲线。这是一个存在定理:它只告诉我们相应的光滑代数曲线存在，但没有具体的计算方法。许多数学家需要具体的例子，他们对这个“不管埋葬与否，统治和杀戮”的定理有很大的疑问，因此他们发展了一些具体的计算方法。这些方法不能处理太大规模的儿童涂鸦，但它们足以让许多数学家需要例子。通过特定的计算方法，数学家可以将孩子们的涂鸦应用到更多的数论问题上，尤其是那些与多项式相关的问题。

儿童涂鸦的另一个名字是两张地图。甚至在格罗滕迪克给它起名叫儿童涂鸦之前，组合学家就开始研究两幅地图和更一般的组合学。这两个地图可以扩展到所谓的“星座图”，它对应于具有更多分支点的球面覆盖(详见参考文献中的S. Lando和A. Zvonkine的作品)。对这些星座图的研究涉及数学和物理的高级分支，如组合表示理论、矩阵积分和和弦理论。

星座图，由方形线制成的图片

组合论者也对列举两个地图感兴趣(更严格地说，所谓的“根两个地图”)，不管它们是一个球体上的两个地图还是任何表面上的两个地图。每个曲面都有一个称为亏格的参数。球面的亏格是0，圆环的亏格是1。然后，对于添加到曲面的每个附加“手柄”，曲面的亏格增加1。这个属越高，它上面的两张地图就越复杂。在矩阵积分的研究过程中，两位物理学家贝雅德和奥兰廷发展了一套称为“拓扑递归”的方法。他们还发现，这种方法似乎适用于与矩阵积分密切相关的二部图的计数，也适用于任意亏格曲面上的二部图。俄罗斯数学家卡扎里安和左拉夫首次将这种方法应用于儿童涂鸦的计数。后来，法国数学家g .查普伊和他的学生证明，对于亏格大于1的曲面，上面两个映射的母函数可以通过借用拓扑递归方法中的一些例程来表示为一些简单函数的分数。值得一提的是，在拓扑递归方法中，最重要的步骤是计算亏格为0和亏格为1的情况下的生成函数，然后可以从这两种情况中计算出亏格更高的情况。这与格罗滕迪克的观点相一致，即整个泰克米勒层级可以由最底层的两层产生。

两个亏格为2的地图，由方形线构成

这就是数学的美妙之处:每个领域都与其他领域密不可分。也许从另一个角度来看，这个问题会变得深刻而重要，从另一个角度来看，它会变得极其简单。

山峰转过来，黑色的柳树盛开。失之东隅，收之桑榆。这是数学。

后记这是一篇具有很强实验性质的纪念文章。读过这篇文章的读者们，非常感谢你们容忍我的任性和所有这些模糊的数学术语。这篇文章中提到的数学既简单又复杂。如果我觉得数学的美能传递给你一点点，我会很满意的。

我不熟悉代数几何。在写这篇文章的过程中，不愿透露姓名的金先生和欧先生给了我很大的帮助。因为他们的研究领域与代数几何有关，所以我就相关问题咨询了他们很多次，他们耐心地向我解释了贝雷定理和格罗滕迪克的工作。我想再次感谢他们。当然，如果文章中还有遗漏，我个人的责任仍然是少学点。

这篇文章的灵感来自亚历山大·兹沃金在波尔多的演讲“加权树”。他是我研究小组的成员。每个人都叫他沙夏，他今年将退休。所以整个团队为他组织了一个告别派对。他的合作者和家庭成员被邀请谈论他的工作和生活。加权树是他在告别会上的演讲。他的高级演讲生动地说明了儿童涂鸦和比雷定理的结合可以产生许多有趣的结果。这篇文章受到了他的演讲的启发，并使用了他幻灯片中的许多例子。我没去过波尔多多久，但我也感受到了他的友谊。当他听说我要写这样一篇文章时，他立即问我他能帮什么忙，后来他也关心这篇文章什么时候写，尽管他不懂中文。我感到惭愧的是，与他的演讲相比，我只做了一点点工作，却拖了这么久。虽然有点晚了，但这篇文章只是他退休时的一份小礼物。

谢谢你，博科特·萨查！漂亮的再培训！

亚历山大·兹沃金，https://www.labri.fr/perso/zvonkin/学术主页上的照片

[图片:亚历山大·兹沃金]

参考文献Alexandre zvonkine . weighted trees，journalées combiantores de bordeaux，2016

谢尔盖·兰多和亚历山大·兹沃金。曲面上的图形及其应用，《数学科学百科全书》第141卷。斯普林格-弗拉格出版社，2004年。

亚历山大·格罗滕迪克。1984年Esquisse dun方案

艾伦·杰克逊。诺特上诉委员会——仿佛从虚空中被召唤:亚历山大·格罗滕迪克的一生，医疗辅助队通告，第51卷，第9号和第10号，2004年

方。《卡特尔组合的方方面面:整合、统一与应用》，博士论文，2016年。