巧分乳酪

小学数学文化:巧用奶酪配送

乔的餐馆因其美味的奶酪而闻名，尽管它的食物没有被考虑。奶酪块又圆又有趣。一旦刀子放下，把一块奶酪切成两半。如果你把它切两次，就不难把它切成四块，如果你切三次，就可以切成六块。一天，女服务员罗西让乔把奶酪切成八块。乔:“好吧，罗西。很简单。我要做的就是切四次。罗西正在把切好的奶酪送到桌子上，突然他意识到乔只需要切三块就可以把奶酪分成八块。罗西想出了什么好主意？

罗西恍然大悟，意识到圆柱形奶酪是一个三维图形，可以在中线处切成两半。如果允许移动切割部分，那么三次切割就可以了。你可以把第一次切好的两块放在一起，把第二把刀切成四块，然后把这四块放在一起，最后把它们整个切成八块。罗西的解决方案是如此简单，几乎普通。然而，它给出了一个明确的启示:对于有意义的分割问题，可以用有限差分法来研究，用数学归纳法来证明。有限差分演算是在数字序列中寻找公共项公式的有力工具。今天，数字序列越来越引起人们的兴趣，因为它们有极其广泛的实际应用，并且因为计算机能够以极快的速度执行序列操作。

罗西第一次切奶酪，在奶酪顶部的几个中线处同时切了几把刀。奶酪像煎饼一样有平坦的顶面。让我们看看根据切薄饼的过程可以产生什么样的数字序列。如果几把刀同时沿着薄烤饼的几条中线切割，很明显最多可以用n把刀同时切割2n块。

如果在任何一个边是简单闭合曲线的平面上同时切割n把刀，用这种方法切割的最大块数是2n吗？不。你可以画任意数量的既不是凸的也不是不同形状的平面。即使一把刀也能切下你想要的数量。你能画一个只用一次切割就能切割任意有限个全等块的图形吗？如果可以的话，这个图形的周长有什么特征可以保证只用一把刀就可以把它切成n等份？如果不同时切，煎饼的切割会更有趣。你很快就会发现，只有当n≥3时，n把刀才能被切成超过2n块。

这里，我们不考虑切片是相同的还是相同的区域。当n=1，2，3，4时。。。可切割的最大件数分别为2、4、7、11件。这个熟悉的序列是根据以下公式获得的:

1+n(n+1)/2

其中n是切刀的数量。该序列的前10项(n从0开始)是1、2、4、7、11、16、22、29、37、46...

请注意第一行的区别是1，2，3，4，5，6，7，8，9...第二行的差异是1，1，1，1，1，1，1，1，1，...

这有力地暗示了这个序列的普通项是一个二次项。

你为什么说“强烈的暗示”？因为虽然一个公式可以通过有限差分演算找到，但不能保证这个公式对无穷序列也是有效的。这还需要证明。在煎饼公式的例子中，通过数学归纳法进行简单的证明并不困难。

从这个角度来看，你可以找到大量迷人的研究方向，其中许多将导致不寻常的数字序列，公式和数学归纳证明。这里有一些问题供你尝试。使用以下方法，你可以切割成几块。

1.在马蹄形煎饼上切N把刀。

2.像罗西那样在球形或圆柱形奶酪上切N把刀。

3.用切饼干的刀在煎饼上切N把刀。

4.在形状像蜡烛环的薄煎饼上切N把刀(即中间有一个圆孔)。

5.在甜甜圈上切N把刀。