无穷的彼岸
计算无处不在。
进入计算机房，听着服务器排成一排的墙之间风扇的噪音，你似乎可以闻到0和1在*处理器和内存之间的连续流动。从计数和计数到今天的计算机，我们用来计算的工具终于开始有质的飞跃。电脑可以做越来越多的事情，甚至超过它们的制造商。上世纪末，深蓝凭借其前所未有的搜索和判断国际象棋的能力，成为第一台击败国际象棋世界冠军的计算机，但它的胜利仍然依赖于人类大师丰富的国际象棋知识。然而，仅仅过了10年，沃森已经能够用自己的算法“理解”这个问题，然后有针对性地在大量数据库中找到相关答案。从长远来看，这种工具将在更多方面超越它的制造者。所有这些都来自越来越复杂的计算。
计算似乎无所不能，就像一个新的上帝。但即使是这个“上帝”也无法逃脱逻辑设定的界限。
图灵是第一个发现这个的人。
为了从点集上超越哥德尔的不完全性定理，获得一个既不自相矛盾也不能证明其中所有真理的数学系统，图灵需要从皮亚诺公理出发，一次又一次地添加新的公理，以获得一个越来越大的数学系统。然而，无论添加多少次，一致性和完整性在获得的系统中是不能分离的。即使增加了无限的公理，它也不能越过“有限”的障碍。为了实现最初的目标，图灵必须尝试添加更多的公理。但是现在无限的新公理已经被加入，新的公理还会起作用吗？如何描述“追求无限”的新公理？什么是“追求无限”？
同样，在19世纪80年代，大约50年前，另一位数学家遇到了类似的问题，他的工作只是为图灵提供了描述“无限后”的语言。
这位数学家被称为格奥尔格·康托，集合论之父。
年轻的康托，来自*
尽管康托最大的贡献是为集合论奠定了基础，但他的科学研究生涯的起点远不是集合论。他从kummer和Wilerstras那里学习，他的博士论文的题目自然与数论有关。使他转向集合论研究的关键人物是爱德华·海涅，一位专攻数学分析的数学家。康托博士毕业后不久，他在德国哈雷大学找到了一份教学工作，海涅是他的新同事之一。是海涅鼓励康托研究三角级数的问题。他问康托这样一个问题:什么样的函数有三角级数的唯一表达式？
顾名思义，三角级数是由正弦和余弦三角函数组成的级数。无论是正弦还是余弦，它们的图像就像周期性的波纹，但事实上它们描绘了各种简单的谐波振动。从数学上讲，它们是一些特别简单的周期函数，具有特别奇妙的特性。然而，现实往往是复杂的。在工程中，为了实际应用，我们经常要计算与工程中出现的函数有关的各种量和性质。然而，这些来自现实的一般功能几乎没有规则，也没有任何可用的特征。因此，如何用简单规则的三角函数来表示复杂无序的一般函数，自然同时吸引了数学家、物理学家和工程师。
这就是三角级数的起源。1822年，法国数学家傅立叶在他的《热的分析理论》一书中，为了研究热传导现象，将热的分布函数分解为三角函数的级数和，并提出了一个概念:所有函数都可以表示为三角级数。
当然，事情没那么简单。尽管现实中遇到的所有函数(连续函数)都有这样的表达式，但对于更复杂的函数来说，情况不一定如此。另一个问题是，对于任何一个函数，虽然相应的三角级数可以通过傅里叶变换得到，但没有人知道另一个三角级数是否会给出相同的函数。换句话说，虽然我们可以通过傅里叶变换知道一般函数一定有三角级数表达式，但这个表达式是否唯一并不明显。
这是康托一开始希望解决的问题。
一切都必须一步一步来。1870年，康托证明了某个区间上的连续函数必须有一个唯一的三角级数表达式，后来又证明了即使该函数在区间的有限几个点上是不连续的，它也不影响这个表达式的唯一性。最后，他在1872年证明了一个非常广泛和复杂的结论:如果函数在区间上一般是连续的，并且只有某个点集p上的点是不连续的，那么如果p满足一个复性质，那么函数有一个唯一的三角级数表达式。
线性函数的傅立叶级数展开，来自*
正是这种“复杂的本性”向康托暗示，在无限之外还有另一个世界。
对于任何点集P，我们可以构造另一个点集P，它包含所有可以被P中的点无限逼近的点。用数学术语来说，点集P中的某个点P在P中，并且当且仅当对于任何小的距离E，在P中存在不同于P但小于E的点。因为E可以尽可能小，也就是说，P中的其他点可以用来无限逼近我们所考虑的点P。这样构造的点集p也被称为p的导集。导集p本身也是点集，所以它也有自己的导集，其被表示为p。导集的导集也有自己的导集，其重复直到无穷大。我们可以记录P取n个导数集为P(n)>P(n)P(n)的结果。
很容易知道点集的导数集必须是点集的子集。事实上，从不太严格的角度来看，求导集的运算可以看作是去除点集中那些“离散”点的运算，即那些与所有其他点“保持一定距离”的孤立点(或孤立点)。在导数集的运算中，由于我们不断地去除孤立点，可能会有新的点，因为我们去除了它的所有“邻居”而成为新的孤立点，所以多次寻找导数集并不是没有意义的。
导数集的定义并不直观，其性质相当复杂。对于只有有限数量点的点集，它的导数集必须是一个空集。对于一个区间，它的导数集就是它自己；由0.1，0.01，0.001，...，其导数集是仅包含0个点的集，其二阶导数集是空集。给定一个正整数n，通过一点思考和一点数学分析的知识，很容易构造这样一个集合。当寻找它的连续导数集时，前n次不是空集，最后n+1次是空集。感兴趣的读者可以尝试自己构建它。
然而，康托定理中所谓的“复性质”是上述性质:如果对于点集P，我们可以在连续求导该集之后经过有限次运算得到一个空集，那么即使该函数在其上是不连续的，只要它在区间的其他地方是连续的，那么它必须有一个唯一的三角级数表示。
当然，也有一些集合，无论寻求多少个导数集合，都不会得到空集合。然而，康托发现，如果集合的“极限”被适当地定义，那么具有“无限次”的导数集合可以由具有有限次的导数集合来定义，并且被记录为P(& # x03c 9；)> P(ω)P(ω).使用欧米茄的原因可能是因为它是最后一个希腊字母，代表结束，适用于“无限”的概念。
那么，这个被标记为“结束”的无穷导数集真的是这个运算的结束吗？可以说，已经进行了无数次的派生操作，再多一次操作也是无限的。相同的无限次数的运算只能产生相同的结果。然而，康托发现了一些违背我们期望的场景。即使我们取无穷多个导数集，得到的结果仍然有孤立点，可以通过再次取导数集来去除。这到底是什么意思？
这一定意味着我们没有完全理解无限。但是康托的观点更加激进:他认为我们甚至对自然数都没有透彻的理解！
数量和顺序
回想一下我们数东西的时候做了什么，比如桌上的书或者盒子里的巧克力。我们指向一个物体，说“一”，指向另一个物体，说“二”，指向另一个物体，说“三”。“一”、“二”和“三”在这里到底是什么意思？最自然的解释是，因为我们在计数，这些数字代表了我们计数的项目数。另一个同样自然的解释是，这些数字代表我们计数的顺序，“一”是第一项，“二”是第二项，依此类推。
换句话说，我们通常使用的自然数实际上有数量和顺序的双重含义。数数时，我们指着一个项目说“五”，实际上我们说了两件事。首先，我们之前总共数了五个项目，其次，我们现在指向的项目是第五个项目。对任何自然数来说，这两个意思总是同时出现，很难分开。因此，当我们通过喃喃自语来数数时，我们很难意识到我们嘴里说的每一个数字实际上都有两种含义，而这两种含义实际上是完全不同的。
康托的一个见解是，对于无穷大来说，双重含义不再重合，也不再出现在同一个“数”上。原始数量和订单是两个完全不同的东西。这两个意思不同是很自然的。
对于同一堆物品，可以有许多不同的计数顺序。例如，光的三原色可以是红、蓝、绿、蓝、红、绿和蓝。对计数顺序的唯一要求是，任何两个项目总是可以被一个接一个地计数，并且一个项目需要被“第一次计数”，也就是说，它是被计数的第一个项目。在数学术语中，要求对象之间有一个完整的顺序关系，并且有一个最小元素。
然而，从另一个方面来看，一堆物品的数量应该是一个固定的值，一个只取决于堆本身的价值和一个从属于堆的固有属性。即使我们需要通过计数来知道物品的数量，这个数量也应该独立于计数方法。不管我们怎么数，这堆东西的数量应该是一样的。
对于数量有限的项目，如果不考虑项目之间的差异，则只有一种计算方法。不管是红色、蓝色、绿色还是绿色、红色和蓝色，它实际上是1
当然，最自然的方法是从十进制到大型:
0，1，2，3，4，...
您也可以先数偶数，然后数奇数:
0，2，4，6，...1，3，5，7，...
你也可以先数质数，然后是复合数，最后是1:
2，3，5，7，11，...，4，6，8，9，10，...，1
当然，在计算其余数字之前，也可以计算所有大于5的数字:
6，7，8，...，0，1，2，3，4，5
计数方法是无穷无尽的，但是自然数的数量应该是一个固定的数量，独立于这些不同的计数方法。康托看到了这一点，并意识到对于无穷大，需要两个不同的概念来分别描述数量和顺序。为此，他提出了基数和序数两个概念，前者描述集合的数目，后者描述计数的次序。这两个概念一直沿用至今。给定一个计数的顺序，集合中元素的数量自然可以得到，所以序数对应于唯一的基数。但是对于一个特定的集合，它可以有许多不同的计数方法，所以一个基数可以对应许多不同的序数。对于有限集合，它们的基数对应于唯一的序数，所以两者可能会混淆，这是我们经常使用的自然数。
在澄清了无穷的概念之后，关于点集导子集的难题自然就解决了:当我们说“取无穷导子集之后的导子集等于取无穷导子集”时，我们实际上是在谈论运算的个数；然而，派生集毕竟是一个操作，并且连续重复操作的结果具有内部序列关系，先有先前的结果，然后是后来的结果。求导集的结果实际上对应于序数，但我们用基数的概念思考，这必然会导致似是而非的结果。
事实上，许多看似矛盾的关于无限的结论可以归因于我们日常经验中数量和秩序的混乱。例如，有些人可能认为偶数比自然数少，因为自然数除了偶数之外还有奇数，但事实上这种说法意味着“先数偶数，再数奇数”的计数顺序。用这种方法，偶数将在自然数之前计数。然而，我们现在知道，对于无限多的物品，可以有无数种不同的计数方法。计数方法不一定代表一个大数字和一个小数字，关于无穷大的奇怪理论将会自然地被消除。我们在日常生活中接触到的对象数量有限，所以混淆基数和序数并不重要，但对于能产生无限对象的求导集来说，基数和序数，即数量和顺序，绝不能混淆。
在此基础上，康托认识到集合的重要性，并在此基础上发展了简单集合论。他还意识到“无限”有无限不同的层次，并称之为“极度贫乏”，这意味着超越的无限(超越日常经验)。第三次数学危机后，由朴素集合论发展而来的公理集合论成为公认的数学基础。公理集合论的研究已经成为数理逻辑的重要研究方向之一。赤贫基数和序数也成为数学研究中不可缺少的概念。伟大的数学家希尔伯特可能说过最恰当的话:“没有人能把我们驱逐出康托创造的这个天堂”。
序数的螺旋，带有*的图片。
但是康托自己的命运远不如他的理论幸运。他提出的基数和序数在一开始并不被理解，但也遭到了当时德国数学大师克罗内克的排斥和反对，因为它们涉及无限和无限的种类。克朗克的座右铭是“上帝创造了自然数，其他一切都是人为的”。他甚至不承认自己超越了数字。康托提出的“超越经验的无限性”，也就是说，拥有无限阶的无限性，对于当时“统治”德国数学世界的数学家来说，自然是一个“巨大的反叛”，甚至达到了他多次公开攻击康托的地步。此外，康托的理论在当时很难被数学家理解，所以康托在当时的数学领域并不是很好，他一直很沮丧。这种压力也可能是他精神分裂症的原因之一。康托在疗养院的晚年可能部分和间接地归功于他的伟大洞察力。
生活是灰色的，理论之树是常青的。
在无穷的另一边，但对于50年后的数学团体来说，基数和序数的概念早已被广泛接受，图灵自然非常熟悉它们。用序数的概念探索无限扩张后的公理系统也是理所当然的事。窥探无边无际的彼岸不再是不可思议和矛盾的事情，而是一种真正令人信服的数学方法。
扩展一个公理系统可以被看作是对一个公理系统的操作，就像取导数集可以被看作是对点集的操作一样。对于无限运算后得到的结果，应用另一个运算也是有意义的。对于操作来说，重要的不是数量，而是操作的顺序，序数适合于标记这个顺序。
利用序数，我们可以表示无限扩张后得到的公理系统。即使在无限扩张之后，我们仍然可以一次又一次地扩张，直到无限。然而，它可以继续扩展，直到它是无限的，无限的，无限的，无限的，无限的，等等。但这不是终点。我们甚至可以继续将系统扩展到“无限次，无限次”的地方...无限”也需要不断重复...这是令人眼花缭乱的，但序数可以很容易地表达这一切，这只是序数所涵盖的领域中的九根牛一头发。
因此，我们可以不断扩展原始系统，并获得一个又一个新系统。这个过程是无止境的。每个新系统都比原来的系统更强大，每个系统都有自己的序号，这表明了它们在这个极度糟糕的扩展过程中出现的顺序。每一个可以表达的序数都对应一个公理系统。所有这些公理系统，根据它们相应的序数，形成一个完整的层次。
图灵称这一系列公理系统为序数逻辑。这个原创系统正是他博士论文的研究内容。然而，提出新的研究体系的博士论文很少。
他希望这个工具能在某种意义上超越哥德尔的不完全性定理。虽然任何公理系统(可以有效地生成)不能同时一致和完整，但这种限制对于一系列一致的公理系统是不存在的。即使每个公理系统都有一个不可证明的命题，如果在证明或否定任何命题的序列中能找到一个一致的公理系统，那么，从整体的意义上来说，这一系列公理系统是完整的。当然，这与哥德尔的不完全性定理并不矛盾，因为一系列可以有效生成的公理在组合时不一定能有效生成。既然定理的前提不适用，定理的结论自然不适用。
那么，在这个层级中，什么是“证据”？
因为一个命题总是在某个系统中被证明，所以首先要做的是指定一个系统，这相当于指定对应于该系统的序数。剩下的就是直接把命题的证明写在相应的系统中。当我们想要测试一个证明时，首先看一下指定的序数，然后看一下相应系统中的公理。在了解了公理之后，我们就可以像测试一般的证明一样测试它。也就是说，与一般证明相比，层次中的证明只是“指定证明所在系统的序数”的步骤，这似乎不是什么大问题。
然而，细节中往往潜藏着恶魔。这一步不像想象的那么容易。
直觉和技能的序数非常差，甚至比无穷大还无限，但是证明的长度是有限的。因此，我们实际上不能指定任何序数，而只能用有限数量的符号来表示。因此，事实上我们不是通过序数来指定系统，而是通过序数的表达式来指定系统。这个表达式必须满足两个条件:表达式的长度是有限的；如果一个序数可以被表达，所有小于它的序数也应该被表达。当然，有一些技术条件，但我们暂时不能按表进行。
有许多序数表达式方法可以满足这两个条件。图灵选择了最复杂的一个:klin -O>OO表达式。这种方法使用自然数的因式分解来表示序数。虽然这种方法不能表达所有的序数，但从某种意义上来说，它已经是表达序数的最强有力的方法了。然而，这种方法的极端复杂性与强大的功能密切相关。事实上，判断一个自然数是否是序数的表达式是一项高度可计算的任务。虽然判断一个特定的自然数是可能的，但没有统一的判断程序。
因为它是不可计算的并且不能被验证，这个证明有意义吗？
为了回答这个问题，让我们首先回忆一下:当我们做数学证明问题时，我们在做什么？
第一步必须是检查问题，找出问题的数学内容，无论是立体几何还是圆锥曲线，还是各种函数。它不仅是一个简单的分类，有时一种问题会被伪装成另一种问题，比如一系列戴着“圆锥”帽子的数字，或者一个戴着“概率”外衣的组合。理清具体问题，理清有待证明的结论，这就是对问题的彻底检验。第二步是开始正式证明。在前一步结果的指导下，利用相应领域的定理，慢慢探索从条件到结论的路径。答案纸上写的是第二步得到的证明。虽然考试很重要，但它并没有反映在证据中。
数学的可靠性根植于严格的证明。然而，如何获得证明很难仅仅依靠严格的逻辑。例如，很难用逻辑来判断一个命题需要哪个数学系统，这需要数学家的直觉。换句话说，证明一个命题需要两个部分的工作:第一部分来自直觉并指导证明的方向；第二部分来自技巧，将直觉付诸实践。
作为一名数学家，图灵当然对数学证明中发生的事情有着深刻的理解。他认为直觉和技能之间的关系与他的序数逻辑中的证明是一致的:指定序数的步骤等同于直觉，告诉我们应该在极端贫穷的阶层中寻找哪一个数学系统的证明；具体证明的步骤相当于技巧，从直觉指定的公理开始，一步一步走向所需的结论。序数逻辑甚至将直觉和技能之间的关系推向了极端:如果需要直觉，只有第一步，但这一步是高度可计算的，对逻辑来说是不可能的。然而，剩下的完全是逻辑证明，甚至可以机械地完成。换句话说，可以说在序数逻辑的证明中，直觉和技巧是完全独立和清晰的。
图灵认为这就是他的序数逻辑的意义。
但是这个世界往往不如人所愿。图灵研究的顺序逻辑主要是通过一致断言扩展的，但是这个顺序逻辑并不像图灵期望的那样完整。图灵只能证明他的序数逻辑为一小类命题(所谓& # x03A000 > π 00 π 00类)是完整的。这并不令人满意，但至少是第一次跨越了哥德尔不完全性定理的边界。
然而，从后来的角度来看，图灵博士论文中最大的贡献不是序数逻辑。在论文的第四部分，图灵提出了一个孤立的新概念，这并没有对论文的其余部分做出任何深刻的贡献，图灵也没有进行任何深入的讨论，这使得整个第四部分显得无关紧要。然而，这个新概念是整个博士论文最重要的部分，甚至比序数逻辑更重要。可以说，这个概念后来创造了可计算性理论的另一个新领域。
这个概念叫做甲骨文。
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