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海盗分金问题

科普小知识2022-05-10 08:35:39
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小学数学故事:海盗的分币问题

海盗,你听说过他们吗?这是一群亡命之徒,抢劫钱财,在海上生活,做着舔刀头上的血的勾当。在我们的印象中,他们通常是瞎子,用一块黑布或者更重要的是一块黑色的皮肤来遮盖他们的坏眼睛。他们也有把财宝埋在地下的好习惯,并且总是画一张藏宝图,以方便后人挖掘。但是你知道他们是世界上最*的团体吗?那些参与海盗的人都是顽固不化的人,他们不愿意听从人们的命令。船上的一切通常通过投票来解决。船长唯一的特权是拥有他自己的一套餐具——但是其他海盗可以在他不用的时候借用它。船上唯一的惩罚就是被扔进海里喂鱼。

现在船上有几个海盗,他们想分一些金币。自然,这些问题通过投票来解决。投票规则如下:首先,最凶猛的海盗提出分配方案,然后每个人都一一投票。如果50%或更多的盗版者同意该方案,则采用分配方案。如果不到50%的海盗同意,那么提出该方案的海盗将被扔进海里喂鱼,然后剩下的最凶猛的海盗提出该方案,依此类推。

我们必须首先对海盗做一些假设。

1)每个海盗的凶残程度是不同的,所有海盗都知道其他海盗的凶残程度,也就是说,每个海盗都知道自己和其他人在计划序列中的位置。此外,每个海盗都有很好的数学和逻辑,并且非常理性。最后,海盗之间不存在私人交易,因为除了他们自己,海盗不相信任何人。

一枚金币是不可分的,一半是你的,一半是我的。

3)当然,每个海盗都不想被扔进海里喂鱼。这是最重要的事情。

每个海盗当然都希望得到尽可能多的金币。

5)每个海盗都是现实主义者。如果他在一个计划中得到一枚金币,并且在下一个计划中有两种可能性,一种是得到许多金币,另一种是得不到金币,他会毫无侥幸地同意当前的计划。总之,他们相信森林中的两只鸟比手中的一只鸟好。

6)最后,每个海盗都喜欢其他海盗被扔进海里喂鱼。在不损害自己利益的前提下,他会投票让他的同伴尽可能多的喂鱼。

现在,如果有10个海盗来分100枚金币,会发生什么?

为了解决这样的问题,我们总是从最后一种情况中后退,这样我们就可以知道在最后一步什么是好的和坏的决定。然后利用这些知识,我们可以得到在最后的第二步应该做什么样的决定,等等。如果我们从一开始就直接解决问题,我们很容易被这样的问题所阻碍:“如果我做出这样的决定,下一个海盗会怎么做?”

这样,首先考虑只有两个海盗的情况(所有其他海盗都被扔进海里喂鱼)。记住他们是P1和P2,其中P2更厉害。当然,对P2来说,最好的计划是:他得到100枚金币,P1得到0枚。他自己的投票足够50%的人投票。

向前迈出一步。现在添加一个更加凶猛的海盗P3。P1知道——P3知道他知道——如果P3的计划被拒绝,游戏将只在P1和P2继续,P1将不会得到金币。因此,P3知道,只要P1得到一点糖,P1就会同意他的计划(当然,如果P1没有得到任何糖,P1宁愿投票给P3喂鱼)。所以对P3来说,最好的计划是:P1得1分,P2什么也得不到,P3得99分。

P4的情况类似。他只需要两票,给P2一枚金币就能让他投票支持这个计划,因为P2在下一个P3计划中什么也得不到。P5也是同样的推理方法,除了他想说服他的两个同伴,所以他给了P1和P3,每个人在P4什么也得不到,一枚金币,留下98给自己。

以此类推,P10最好的计划是:他获得96枚金牌,并给P2、P4、P6和P8每人一枚金币,而在P9计划中,他们什么也得不到。

以下是上述推理的表格(Y表示是,N表示否):

P1P2

0100

纽约

P1P2P3

1099

YNY

P1P2P3P4

01099

NYNY

P1P2P3P4P5

101098

YNYNY

……

P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10

01010101096

纽约纽约

现在我们将宣传海盗资金分配问题:

1)改变规则,计划必须在投票中获得50%以上的票数(只有50%票数的计划提案人也将被扔进海里喂鱼)。如何解决10个海盗分享100枚金币的问题?

2)在不改变规则的情况下,如果给500名海盗100枚金币会发生什么?

3)如果每个海盗都有金币存款,他可以在分配计划中使用它。如果他被扔进海里喂鱼,那么他的存款将被加到金币堆里分发。这次呢?

通过对规则的微小改变,海盗的资金分配问题可能会有很多改变,但最有趣的可能是1)和2)(规则仍然是50%的选票。这篇文章只讨论这两种情况。

首先考虑1)。目前,只有P1和P2比P2差:一票是不够的,但即使他给P1 100金币,P1仍会把他扔进大海。不过,P2很重要,因为如果P3实施分配方案,P2会同意即使他不给P2一枚金币,这样P3就会有铁票P2!P3最好的计划是只拿100枚金币。

P4需要三票,P3肯定会反对他。如果P2得不到任何好处,P2也会反对,因为P2可以在P3的计划中得到拯救。为什么现在不把P4扔进海里?因此,P1和P2应该分别得到一枚金币,所以P4将有3票,包括他自己的1票。P4的计划是:P1和P2各有一枚金币,他有98枚金币。

五常的情况更加复杂。他还需要3票。P4会反对他,所以如果不给P3一枚金币,他就能支持他的计划,因为在下一个P4计划中他将一无所获。问题是P1和P2:只要他们中的一方支持它。然而,仅仅给一枚金币是不够的。在P4计划中,他们必须有一枚金币,所以只要他们随便选择其中一枚,就给两枚金币,另一枚会很抱歉,不会给。这样,五常计划是:97个成员国,1个P3,2个P1或P2。

P6的计划是建立在P5之上的,只要给每个没有从P5计划中受益的海盗一枚金币。应该指出的是,P1和P2都应该被视为没有从五常计划中受益:他们可能得到两个,但可能得不到一个,所以只要P6给他们一枚金币,按照“一鸟在林,不如一鸟在手”的原则,他们就可以支持P6计划。因此,P6的计划是独特的:P1、P2和P4各有一枚金币,P6自己拿走97枚金币。

如果这种情况继续下去,P9的计划是:P3、P5和P7各有一枚金币,然后从P1、P2、P4和P6中选择一个国家赠送两枚金币,P9自己将获得95枚金币。最后,P10计划是独特的:P1、P2、P4、P6、P8各有一枚金币,P10有95枚金币。

2)是最有趣的(提醒:让我们回到50%的规则)。原问题解决方案中的推理过程直到200名海盗都有效:P200给每个偶数编号的海盗一枚金币,包括他自己,而其他海盗什么也没得到。从P201开始,继续推理变得有点困难:P201必须什么都不留给自己,以免被扔进海里。相反,从P1到P199的所有奇数编号的海盗每人得到一枚金币,这样就赢得了100张选票,加上一张自己的选票,得以逃脱。P202什么也没得到。他必须用这100枚金币来购买100名无法从P201计划中得到任何东西的海盗。需要注意的是,目前的方案并不是唯一的方案:P201方案中得不到金币的海盗都是奇数的海盗,101(包括P201),所以有101个方案。

P203必须获得102票。除了他的一票,他只有100金币,所以他只能得到100票,所以这个可怜的家伙被扔进海里喂鱼。然而,P203是一个非常重要的角色,因为P204知道如果他的计划没有通过,P203也会死,所以他有P203的铁票。所以P204可以松一口气:一票给自己,一票给P203,然后100票给100枚金币,他就会得救!幸运地得到金币的100个海盗可以是P1到P202的任何100个:因为偶数个海盗从P202方案中得不到任何东西,如果P204给他们中的一个人一枚金币,海盗肯定会同意该方案;然而,奇数编号的海盗只可能从P202方案中受益(概率为100/101)。因此,根据“一鸟在手,两鸟在林”的原则,如果可以得到一枚金币,他也会同意。

其次,P205不能把希望寄托在P203和P204的票上,因为即使他被扔进海里,P203和P204仍然可以通过P204的方案生存。尽管P206只能从P205的铁票中获得102票,加上他自己的1票和100枚金币,他也被扔进海里喂鱼。P207也好不到哪里去,他需要104票,而他自己和P205和P206的铁票加上100枚金币只得到100票中的103票——不得不出海。

P208很幸运。他也需要104票,但P205、P206和P207都将投票支持他的计划!凭借自己的一票和他买的100票,他终于逃脱了做鱼食的命运。

这样,我们就有了一个新的逻辑,可以一直推进下去。海盗可以什么都不留给自己,买100张票,然后依靠一些铁票,这些铁票注定会被扔进海里,从而让他们自己的计划得以通过。运气好的海盗有P201、P202、P204、P208、P216、P232、P264、P328和P456……...我们看到这样的数字是200加上2的幂。

哪些海盗是受益者?显然,铁票不是(不能)给金币的。因此,只有最后一个幸运数字和他以前的海盗才能得到一枚金币。因此,我们得到了500名海盗和100枚金币,并得出结论,前44名最凶猛的海盗被扔进了海里,P456给了100名海盗每人一枚金币,P1给P328。

就这样,最凶猛的海盗被扔进了海里,而最凶猛的海盗什么也得不到,只有最温和的海盗才能得到一枚金币。正如马太所说:“温柔的人有福了,因为他们将继承大地!”