数学的发展矛盾

整个数学史是一部矛盾和斗争的历史。数学中的矛盾是推动数学长河前进的主要力量之一。

数学把现实世界的空间形式和数量关系作为它的研究对象。为了以纯粹的形式研究这些形式和关系，它必须与现实世界的内容分开。然而，没有形式或关系离开内容。因此，数学，根据其本质，试图实现这种分离，这是一种试图实现不可能的事情。这是数学本质上的根本矛盾，是数学普遍矛盾的特殊表现。在认知的各个阶段，越来越接近现实，数学通过不断地解决和重复上述矛盾，不断地前进和发展，从简单到复杂，从低级到高级。

人类最先认识到自然数，零和负数的引入经历了一场斗争:要么是这些数被引入，要么是大量的减法是不可行的。同样，分数的引入使乘法变成了反除法，否则许多实际问题都无法解决。

但是问题出现了:所有的量都可以用有理数来表示吗？无理数的发现和第一次数学危机的解决最终促进了逻辑的发展和几何的系统化。方程的解的问题导致了虚数的出现，这些虚数从一开始就被认为是“不真实的”，但这种不真实的数解决了实数不能解决的问题，从而赢得了自己存在的权利。这就是数学在冲突中的发展。几何学已经从欧几里得几何学发展到各种各样的几何学，它也是如此。

19世纪，人们发现了许多传统方法无法解决的问题。例如，五次以上的代数方程不能通过加法、减法、乘法、除法和求根来求解。古希腊几何的三个主要问题不能通过画圆规和尺子等来解决。这些负面结果显示了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深化。

这些发现给相关学科带来了巨大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。例如，代数已经发展成抽象代数，解方程的根已经成为分析和计算数学的主题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，特别是包括整数运算在内的形式系统的不完备性和许多问题的不确定性，大大提高了人们的认识，促进了数理逻辑的大发展。

由无穷小量之间的矛盾引起的第二次数学危机反映了数学内部有限和无限的矛盾。第三个数学危机涉及集合论和数理逻辑，但它从一开始就涉及无限集合，而现代数学离不开无限集合。一种极端的观点是只考虑有限集合或最多可数集合，但这样大多数数学将不再存在。

即使这些有限数学的内容涉及许多无限方法，也有许多数学证明需要有限的步骤来解决无限问题。借助于计算机完成的四色定理的证明，无限数量的可能的映射必须首先减少到有限的情况。对于无限，计算机是无能为力的。可见，数学永远无法回避有限与无限的矛盾，这可以说是数学矛盾的根源之一。

清晰的应用和严格的逻辑之间的矛盾一直贯穿着数学。在这方面，数学家们更注重实际应用，而数学家们更注重严谨的批判。只有这两个方面协调一致，矛盾才能解决。例如，运算符演算和δ函数从形式演算开始，并被任意应用。直到施瓦尔建立了严格的广义函数理论体系。微积分的应用和极限理论的建立是众所周知的。

在数学史上，一直有两个重要的趋势经常起作用:一个是学科分化的趋势，另一个是学科整合的趋势。这两种矛盾趋势的辩证运动是一个否定之否定的过程。

自然作为一个具有无限多样性的统一整体，通过感觉和知觉进入人类意识。在古代，数学从整体的数量和形状的关系中把握自然。算术、代数和几何并没有分开。任何著名的数学书籍都包括这三个方面，并把它们融合在一起。因此，古代数学本质上是一门关于数学和物理综合的感性和直观的科学。

自17世纪解析几何和微积分产生以来，学科分化的趋势一直占主导地位。一个单一的未分化的学科已经发展成为许多学科的专门分支，每一个学科都在数量和形状上研究数学的一个具体而完整的方面。这种持续的分化在19世纪下半叶达到了相当好的水平。代数、几何、分析等学科已经形成了各自不同的研究领域，尤其是分析领域的发展更加蓬勃。每一门学科都可以独立发展，彼此之间没有任何联系。每个学科在理论、语言、方法等方面都不能相互交流。根本没有统一的数学图景。

从1872年克莱因用“群”的观点统一各种几何，到康托建立集合论和公理化运动，日益分化的数学走向综合的趋势变得明显。到20世纪初，数学的分化和整合显著加快。自20世纪20年代以来，尤其是第二次世界大战之后，一体化趋势占据了主导地位。学科的不断分化实际上是综合趋势的一种表现，因为新学科的不断出现正日益消除学科之间的传统界限。为了深入理解数字和形状，采用了多学科方法的更全面的理解形式。因此，各个学科之间的联系更加紧密。这是现代数学发展的辩证方法。我们对整体的各个方面了解得越多，我们就越能全面地把握整体。

也许将来会有一个公认的新观点，统一当前的数学。然而，这种统一只是暂时的和相对的。随着生产和科技的发展，新的问题会出现，形成新的分支，促进新的分化。数学将在这种不断的分化和整合中继续前进。