费马的数学情缘

300年前，在法国城市图卢兹，有一个地方议会成员，名叫皮埃尔·费马(Pierre Fermat，1601—1665)。这个人生来就是律师。当他无事可做时，他不喜欢英格的语言。他要么为一座被围困的城市而战，要么走在院子里练习武术。可以说是平静的生活，不想追逐权力，淡泊名利。他懂几种外语，有时会用希腊语、拉丁语或西班牙语写诗供自己阅读和消遣。

但是他最喜欢的事情是做数学和一些科学研究。有时他把结果写给远方有相同兴趣的朋友，有时他把自己的想法写在数学书的空白处。当时，没有数学杂志允许他发表他的研究成果。

1621年，丢番图的书《算术》从希腊语翻译成法语，并在法国出版。费马买了这本书，开始对数论问题感兴趣。闲暇之余，他研究并推广了一些希腊数学家的问题。

丢番图的书的一部分讨论了x2+y2 = z2的整数解。费马在这一部分的底部写了几行:“相反，一个立方数应该被分成两个立方数，一个四次方数应该被分成两个四次方数。一般来说，不可能将大于2的幂分为同一指数的两个幂。我确实找到了这个很好的证据，因为这里没有足够的空间，我不能把它写在这一页的底部。”

好吧，让我们把这段写在代数方程里，看看它是什么样子的:

当n大于2时，等式xn+yn = Zn对于不等于零的正整数x，y，z没有解。

这个结果被数学家称为费马大定理或费马大定理。在数学中，当人们能够证明一个命题是正确的，这个命题就叫做定理。然而，自上述提议提出以来，300多年已经过去了。没有人证明这是对还是错。称之为“费马大定理”真的很奇怪。

我们提到的关于德国百万富翁保罗·乌斯克提出的高价的问题是:费马定理是对还是错？你现在想拿到奖金吗？如果你想试试，让我给你讲更多的故事。

费马撒谎了吗

费马死后，他的长子将他的信件和一些关于数学研究结果的手稿汇编成一本书。人们想知道费马是如何证明“大定理”的，但不幸的是，手稿中找不到这个定理的证明。

费马不能证明这一点，故意在纸上写下他已经证明了这一点，并“欺骗自己”？像阿q一样，寻求精神安慰？

我认为从他的天赋和个性来看，他不会做这样的事。

在丢番图的书中，费马还写下了他的几项研究成果，例如:

(1)像4N+1这样的任何素数都可以唯一地表示为两个整数的平方和，而4n-1不能表示为两个整数的平方和。

(2)对于任何整数n和素数p，NP-n可以被p整除

(3)x2+2=y3只有一个解x=5，y=3

这些结果费马没有写下他的证据。然而，18世纪的数学家欧拉花了7年时间才找到了(1)的证明。对于(2)，德国数学家莱布尼茨在1683年和欧拉在1749年也被证明是正确的。

费马对数学做出了巨大贡献。他和帕斯卡通过书信讨论了赌博中的数学规律，两人都成为古典概率论基础理论的奠基人。他研究了希腊阿波利尼的圆锥理论，建立了一些坐标几何原理，可以说是像笛卡尔一样的解析几何的创始人。他利用曲线的性质来研究极小极大问题，是微分积分的先驱。

他在物理学上也有重要发现。他知道他选择的路线一定是从一点到另一点最短的，被不同的媒体折射或反射。在1926年，这个理论是波动力学的基本和重要的原理，是物理学的一个重要分支。

“如果任意给定一个素数4N+1，它就不是两个整数的平方和，”他在1659年写给他的朋友。对于一个给定的素数，我们也可以找到一个比这个小的素数，比如4n+1，它有相同的性质。因此，我们继续用这个方法找到它，也就是我发现的“无限下降法”，最后我们得到素数5，它的形状应该像4n+1，不应该是两个整数的平方和。然而，这是一个明显的错误，矛盾出现了！因此，4n+1形式的质数必须是两个整数的平方和。"

费马可以用这种“无限下降”方法证明x4+y4=z4没有整数解，然后他可以很容易地从这里证明x4+y4 = z4没有整数解。

既然费马在n=4时可以证明他的最后一个定理，他很可能犯了一个错误，认为他的方法是万能的、不利的，可以解决所有的情况。

这片美丽富饶的土地让无数的英雄俯首致敬

近300年来，著名的数学家一直试图解决这个问题。法国科学院和比利时皇家科学院等数学团体已经向问题解决者提供奖励，但不幸的是，没有人能得到奖励。

当然，最令人兴奋的是1908年德国保罗奖。当这个消息在美国报纸上宣布时，它激起了许多为了钱而研究这个问题的人的热情。曾经有一段时间，一些没有受过数学训练的人发表了许多关于这个问题的解决方法的声明，但后来证明他们的“证明”要么是无知的，要么是无稽之谈。

费马自己证明了当n=4时，所以对于4 n=4m的任何倍数，费马方程可以写成(XM) 4+(ym) 4 = (zm) 4，因此方程没有整数解。

对于一般整数n，如果它可以表示为n=pm，这里p是大于2的质数。费马方程可以写成:

(xm)p+(ym)p=(zm)p

如果我们能证明XP+YP = ZP没有整数解，那么上述方程也没有整数解。因此，要证明费马定理是否正确，只需考虑方程的素数幂。

1770年欧拉证明了n=3的情况。1823年，法国数学家勒让德证明了n=5的情况，1839年，拉梅证明了n=7的情况。

160多年前，自学成才的PHIE·杰曼也对费马大定理做出了重要贡献。她证明了如果p是奇素数，q=2p+1也是素数，那么XP+yp = ZP没有整数解。这样，所有小于100的奇素数的问题都可以得到解决。

在许多费马问题的研究中，最成功的是德国数学家库默(1810—1893)。他花了20年时间试图解决费马难题。最后，他认为这是成功的。因此，他后来指出，他的理论仍然有一些缺陷，不能调查所有的情况。虽然他的工作极大地促进了数学的进步，但他引入了理想数的概念，建立了重要的代数数论基础理论。他把质数分为正规和非正规两类。费马方程适用于所有正则素数，所以他的主要工作是验证不规则素数。他知道小于164的不规则质数是:37，59，67，101，103，131，149，157。因此，他证明了费马定理适用于小于100的n。

尽管库马尔不能完全解决费马难题，但法国科学院还是授予他一个奖项，以表彰他的新数学理论和他对复杂领域的深入而透彻的研究。

1955年，美国数学家范德比尔特使用当时最好的电子计算机来测试小于4002的不规则素数的费马定理，发现费马定理仍然有效。

各种数学家都想用他们熟悉的方法解决这个问题。这个问题的吸引力是如此之大，以及“如此多的美女让无数的英雄跪拜”。不幸的是，他们都输了，有些人疯了。围绕这个问题有许多悲伤的故事。

列贝斯克(H.Lebesque 1875—1941)，本世纪最有影响力的分析学家，在分析领域创造了所谓的“列贝斯克积分理论”，可以说是分析领域的一场伟大革命，推动了分析的发展。他晚年还热衷于解决费马问题。最后，他向法国科学院提交了一篇论文。据说费马定理可以用他的理论完全解决。法国科学院非常高兴。如果这是真的，法国可以为世界骄傲。300年来最困难的数学问题之一已经被它自己的人民解决了。一群数学家研究了他的手稿后，发现他也犯了错误，所以他还是失败了。收到手稿时，勒贝斯格喃喃自语道:“我想我的错误可以纠正。”但是直到他去世，他才解决了这个问题。

最新发展

因为等式xn+yn = zn中的z不等于零，所以我们将两边除以zn得到一

因此，Fermat问题等价于这样一个几何问题:证明了对于n大于3的任何整数，曲线un+vn=1在uv平面上不能有有理数点。

这样，费马问题就变成了代数几何问题。

1974年，在加拿大温哥华举行的“国际数学家大会”将菲尔德金质奖章授予了两位对数学做出重要贡献的年轻数学家(这是数学能获得的最高荣誉，相当于诺贝尔科学奖)。其中一位是37岁的哈佛教授大卫·芒福德

他最近用代数几何工具证明，如果费马方程xn+yn = Zn有一个整数解，那么这个解可以说是“非常少”，这是目前最接近于解决费马问题的结果。他的方法是这样的:如果(xm，ym，zm)是xn+yn = Zn的无穷多个解，我们根据zm的大小，从小到大排列数组(xm，ym，zm)。然后我们可以找到一个常数a大于零，另一个常数b，使zm常数大于1010am+b，这是一个天文数字！

费马问题还没有完全解决。如果读者感兴趣，他可以在前进之前尝试证明n = 3和5的情况。顺便说一句，有一点应该明确:10万马克的奖金变得毫无价值，因为1920年德国出现了非常严重的通货膨胀，货币价值大幅下跌。

英国数学家莫代尔曾经说过:“如果你想变得富有，任何方法都比证明费马定理容易得多。”因此，请不要为失去10万马克的奖金而感到遗憾。

如果你仍然对数学感兴趣，请在晚饭后或晚上思考以下问题:

1.一个农民想以每头80元的价格买一头牛，以每头50元的价格买一头猪。他现在有810元。他能买多少头牛和猪？(答:2头牛和13头猪，或7头牛和5头猪。)

2.证明X3Y2 = 17没有整数解；

3.证明x2+5=y3没有整数解；

4.x3+y3 = 2z3，x，y，z的最大公约数为1，并且只有一个正整数解x = y = z = 1。