数学历史的启示

首先，我要感谢国际数学奥林匹克(香港)委员会和香港教育署给我机会在“数学普及讲座与交流系列”上发表演讲。我特别要感谢岑家平教授和国际奥林匹克数学(香港)委员会主席谭炳军博士。我还要感谢今天出席会议的所有香港高中师生。春节将在三天后庆祝。每个人都很忙，有很多事情要做。然而，我很感动有时间听我的演讲。在这次演讲中，我打算提出以下几点:一两百年前的演讲，一百年前演讲的启示三，算术和代数四，几何和三角五，微积分六，启示七，一两百年前的结论，今天的演讲是2001年1月20日，21世纪才刚刚开始20天。一百年前，1904年8月5日，德国数学家戴维·希尔伯特(1862-1943)在巴黎国际数学家大会上发表了一篇题为“数学问题”的著名演讲。这是记录在数学编年史上的一次重要演讲。在他演讲的前言和结论中，他对数学的含义、来源、发展过程和研究方法提出了许多精辟的见解。整篇演讲的主体是他根据19世纪数学研究的成就和发展趋势提出的23个数学问题。这些问题涉及现代数学的许多重要领域。在过去的100年里，这些问题引起了数学家们对研究的浓厚兴趣。100年后，这些问题有近一半已经解决或基本解决，但仍有一些问题取得了重大进展，但尚未最终解决，如黎曼猜想、哥德巴赫猜想等。100年后的1900年，对希尔伯特的23个问题有许多评论。然而，许多人认为这些问题对20世纪数学的发展起到了巨大的推动作用。当然，也有一些关于他们缺点的评论。例如，这23个问题不包括拓扑学和微分几何领域的数学问题，这两个领域在20世纪成为前沿学科。除了数学物理，它很少涉及应用数学。当然，我不会想到20世纪计算机的巨大发展及其对数学的巨大影响。20世纪数学的发展实际上远远超出了希尔伯特问题所预测的范围。d .希尔伯特是站在19世纪和20世纪数学分界线上的三大数学家之一。另外两个是亨利·庞加莱(1854-1912)和费利克斯·克莱因(1849-1925)。他们的数学思想和对数学的贡献不仅反映了19世纪数学的辉煌，也照亮了20世纪数学的前进方向。d .希尔伯特在上个世纪新旧世纪之交发表了他的演讲。现在又一个新世纪开始了。让我们看看他的演讲。他的一些话仍然适用。例如，在演讲开始时，他说，“我们当中谁不想打开未来的帷幕，看看我们的科学发展在下个世纪的前景和神秘？我们下一代的主要数学趋势将追求什么样的特殊目标？新世纪将给数学思想的广阔而丰富的领域带来什么新方法和新成就？”他补充道:“历史告诉我们，科学的发展具有连续性。我们知道每个时代都有自己的问题。这些问题要么后来得到解决，要么被抛在一边，被新的问题取代，因为它们没有帮助。因为一个伟大时代的结束不仅促使我们去追寻过去，也将我们的思想引向未知的未来。”20世纪无疑是数学的伟大时代，21世纪的数学将更加辉煌。“每个时代都有自己的问题。”随着20世纪的临近，希尔伯特提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题极大地促进了20世纪数学的发展，但20世纪数学的成就远远超过了他提出的问题。21世纪的问题是什么？希尔伯特在1900年巴黎国际数学家大会上提出这些问题时只有38岁，但他已经被公认为世界上最受尊敬的顶尖数学家之一。众所周知，2002年国际数学家大会将在中国北京举行。这是国际数学家大会第一次在第三世界举行。在新旧世纪交替之际，像希尔伯特这样声望很高的人会提出他认为是21世纪的数学问题，还是以其他形式展望21世纪的数学？我当然不知道这一点，但多年来，许多数学家提出了他认为是21世纪的数学问题，但通常是“不同的人有不同的意见，而智者有不同的意见”第二，一百年前的演讲对希尔伯特的23个问题的启示不在这里介绍，因为它超出了高中数学的范围。然而，一百年前，希尔伯特对数学的看法非常深刻。一百年后，当他重读他的演讲时，他仍然得到许多启示。在这一个多小时的短暂时间里，我不可能向他演讲的所有部分解释我自己的经历。我只想就他的一句话说几句。自从20世纪60年代微积分发明以来，数学有了很大的发展，分支也越来越多。起初，一些伟大的数学家理解所有的分支，并做出了巨大的贡献。但是后来数学的分支变得越来越精细，完全理解每个分支的数学家越来越少。到19世纪末，希尔伯特发表演讲时已经是这样了。所以在演讲中，他说了这样一句话:“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，一个研究者是否有可能理解这些知识的所有部门？为了回答这个问题，我想指出，数学中每一步的真正进步都与发现更强大的工具和更简单的方法密切相关。这些工具和方法将有助于理解现有的理论，同时把旧的和复杂的东西放在一边。数学科学发展的这一特点根深蒂固。因此，对于个别数学工作者来说，只要他们掌握了这些强大的工具和简单的方法，他们就可能比其他数学分支学科更容易找到前进的道路。”。一百年后，数学发展得更加广泛和深入，分支越来越多。现在数学有60个两个学科和400多个三级学科，这更是非同寻常。因此，希尔伯特的上述言论现在更加重要了。不仅如此，希尔伯特的这段话实际上讲述了数学发展的历史过程，深刻揭示了数学的发展是一个新陈代谢的过程。这是一个强大的新工具。更简单的方法的发现和一些古老而复杂的事物的抛弃，是用“高水平”数学代替“低水平”数学的过程，而“数学科学发展的这一特点是根深蒂固的”事实上，在数学史上，一些新的强大工具和更简单方法的发现常常标志着一个或多个数学分支的出现，以及一些旧分支的衰落甚至终结。回顾我们年轻时学习数学的过程，我们正在重复这个数学发展的过程。虽然有些数学后来被更强大的工具和更简单的方法产生的新数学所取代，即“低级”被“高级”所取代，但在一生学习数学的过程中，不能只学习“高级”，而根本不学习“低级”，学习“低级”的过程被完全忽略了。这是因为随着年龄的增长，学习数学相当于他的年龄和智力是最好的选择，学习数学是一个渐进的过程，没有“低水平”数学打下良好的基础，很难理解和学习“高水平”数学。以下是我们从希尔伯特演讲中这一精辟论述的角度对我国中小学数学课程的理解。我只是从数学发展的历史角度来讨论这个问题，供大家从数学教育的角度来讨论这个问题作为参考。但是，我必须强调，从数学发展史的角度考虑问题与从数学教育的角度考虑问题是不同的，尽管两者有联系。算术和代数人类拥有数字的概念和人类开始使用火一样古老，可以追溯到大约30万年前。然而，书面数学直到公元前3400年才出现。至于数字的四种运算，那是以后的事了。在我国，《九章算术》是古代数学中最重要的著作。这是一部从先秦到西汉中期被许多学者不断修订和补充的数学著作。最晚写于公元前一世纪。这是一本习题形式的书。这本书有246个主题，分为九章。它包含非常丰富的内容。在这本书里，有四个算法的分数，比例算法，盈余和不足，解决三元线性代数方程，正数和负数，平方根，面积和体积的一些计算几何图形。在西方，这些内容迟早会出现，它们包括了我们从小学到中学学习的“算术”课程的所有内容。换句话说，人类花了几千年的时间才逐渐理解了既定的“算术”的内容。现在，每个人都需要几年的时间才能逐渐理解童年时已确立的“算术”的内容。现在每个人都在童年的几年里学会了这一切。对于“算术”，真正的进步是由于“发现了更强大的工具和更简单的方法”。这种工具和方法就是“数字符号化”，由此产生了另一种数学“代数”，即中学“代数”课程的内容。在我国，这是宋元时期(大约50年代和60年代)。在当时的作品中，有《田原书》和《四元书》，也就是说，无名数字被记为“田原”和“X”。后来，二、三、四个未知数被记为“天”、“地”、“满”、“吴”，也就是说，这四个未知数现在都用“元”来表示。数字符号化是在16世纪在西方完全完成的。中学生现在学习的“代数”内容包括一元二次方程的解，多元联立方程的解(一般是二元，三元到四元)等。当然，在“数字符号化”之前，一元二次方程的解和多元联立方程的解也已经出现。例如，在古代中国，有一些“算法程序”用于求解具有一般数字系数的代数方程。然而，这些都是用语言表达的。直到“数字符号化”才出现了中学代数的内容形式。中学“代数”的内容是由“数字的符号化”产生的，它实际上是“数学的真正进步”。“代数”确实是“一个更强大的工具和更简单的方法”。顾名思义，“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“用符号代替数字”，即“符号化数字”。人类已经从“算术”到“代数”经历了几千年。然而，在中学课程中，学习所有这些内容只需要短短的几年时间。回想我的童年，当我在小学学习“算术”的时候，我发现很难解决“鸡和兔子在同一个笼子里”的问题，也就是说，笼子里养了多少只鸡和兔子，知道了多少头和脚，问了多少只鸡和兔子？当时，老师解决问题的方法现在已经完全被遗忘了，给人留下的印象是很难，并想知道:为什么要把鸡和兔子关在笼子里？你能数多少个头和脚？为什么你不能数一下鸡和兔子的数量？当我在初中时，我学习了“代数”课程，然后我突然意识到这只是一个二元联立代数方程组。求解方程组非常简单方便。它不仅可以用来解决“鸡和兔子在同一个笼子里”。即使鸭子和狗被锁在一个房间里数着头和脚的数目，也可以称之为“鸭子和狗在同一个房间里”的问题，这种问题是可以解决的。因此，“代数”显然比“算术”更“高级”。这确实是“一个更强大的工具和更简单的方法”。这些工具和方法将有助于理解现有的理论，并把“古老而复杂的东西”放在一边。换句话说，从“代数”的角度理解“算术”可以更深刻，而处理“算术”中个别问题的一些复杂方法可以搁置一边。在此，我想重申，虽然中学的“代数”比小学的“算术”更“高级”，是“一种更有力的工具和更简单的方法”，但这并不意味着小学的“算术”不需要学，因为:(1)“算术”的某些内容不能完全由“代数”所取代，如四运算等。；(2)即使内容可以替换，通过适当地学习一些内容来了解和理解“代数”的内容也是有益的。(3)从教育学的角度看，存在着循序渐进、不同年龄学生的接受能力等问题。作为中学“代数”的重要组成部分，它是解多个联立方程。在中学《代数》教材中，重点一般放在二元或三元联立方程上，所用的方法通常是消去法。然而，如果有四个或更多的论点，我们必须找到另一种方法来建立多重联立方程理论。经过多年的努力，矩阵的概念应运而生，它不仅给出了多元联立代数方程的一般理论，而且建立了一门新的学科“线性代数”。这是数学上的又一个“真正进步”。由于“更强有力的工具和更简单的方法”即“矩阵”的发现，不仅对多重联立代数方程的理解更加清晰和深入，而且由于统一的处理方法，单独处理方程的方法也可以“抛在一边”。当然，“线性代数”是一门大学课程，但它的出现再次证实了希尔伯特的说法。中学《代数》的另一个重要内容是解一元二次方程。例如，在古代，在《算术九章》中，一般有求解一个变量的二次方程的算法。后来，有许多发展，直到al-khowarizmi(约783-850)相当于给出一个变量的二次方程的一般形式。1545年，卡达诺(1501-1576-1576)宣布发现了一元三次方程的解，而一元四次方程的解是由法拉利(1522-1565-1565)解决的。当时，许多数学家致力于寻找高阶方程的根解，即试图通过加法、减法、乘法、除法和寻找正整数的根来表达方程的解。经过两个世纪的努力，许多数学家失败了，直到1770年j？拉·格兰奇(1736-1813)发现五次方程和高阶方程不能做到这一点，半个世纪后，1824年，n？阿贝尔(1802-1829)解决了这个问题，也就是说，不可能找到五次及以上的一般方程的根解。但是什么样的特殊代数方程可以用根公式求解，这就是E？伽罗瓦(1811-1832)解决了这个问题，但更重要的是，为了解决这个问题，他建立了“群”的概念，这意味着现代代数理论的出现，这是另一个“数学的真正进步”。这是由于发现了“更强大的工具和更简单的方法”，即“群体”。随着“群”和后来发展起来的现代代数理论，我们可以更清楚、更深刻地理解过去寻找高阶代数方程根解的问题，但我们真的可以把那些“古老而复杂的东西”放在一边。虽然“群”等现代代数的内容已经超出了中学教学的内容，但300年来提出代数方程的根解问题的过程，已经证明了希尔伯特反复说过的话。“群”在历史和现代数学中的作用是不可估量的。例如，克莱因在1872年提出了著名的ErlangerProgramm，即他认为各种几何都是为了研究各种变换群下的不变性质。这种数学思想不仅在几何学的发展中，而且在整个数学的发展中发挥了巨大的作用。