困扰数学家近80年的无理数难题被证明了

有理数是简单的数字。用于计数的数字和所有可以写成分数的数字都是有理数。在数字领域，我们熟悉的有理数数量很少，绝大多数是无理数。

来源:pixabay

来源原则(标识:原则1687)

有理数是简单的数字。用于计数的数字和所有可以写成分数的数字都是有理数。但事实上，在数字领域，我们熟悉的有理数很少，绝大多数是无理数。无理数是指那些没有终点并且可以无限延续的数，如π、√2等。它们不能写成分数，它们无处不在，但难以捉摸。

如果我们不能简单而准确地表达无理数，我们如何去近似它们？通常，当我们需要使用这些数字时，我们会将它们四舍五入到小数点后一位，例如π通常取3.14，等于157/50。然而，另一个22/7的分数似乎更接近π的值。结果，提出了一系列的问题:这些近似值能有多精确？这种准确性有极限吗？任何形式的分数都可以用于近似值吗？

寻找无理数的近似值

1837年，数学家古斯塔夫·勒尤尼·狄利克雷发现，只要你不太在意错误，你就能很容易地找到无理数的近似值。他证明了对于每一个无理数，都有无限多的分数接近这个数。从某种意义上来说，这是有理逼近的一个狭义表达式:如果用于逼近的分数的分母可以是任何整数，并且如果允许的逼近误差是1除以该分母数的平方，那么每个无理数可以被逼近为无穷多个分数。

但是，如果你想让分母是一个从整数子集抽取的数，比如所有的质数，或者所有的平方数呢？再举一个例子，如果你想让近似误差达到某个值，在这种特殊情况下，我们还能得到无穷多个近似分数吗？

1941年，物理学家理查德·杜芬和数学家阿尔伯特·谢弗提出了一个简单的猜想来回答这些问题。当逼近无理数时，必须首先选择一个无穷分母序列，它可以是任意数字的列表，如所有奇数、所有偶数、所有10的倍数或所有素数的序列等。

下一件要确定的事情是你希望列表中每个数字的无理数有多精确。例如，n/2形式的分数可以逼近任何一个“误差”在1/10以内的数；n/10形式的分数可以逼近误差在1/100以内的任何数字。

直觉上，允许的误差越大，近似的可能性就越大。允许误差越小，实现逼近就越困难。接下来，基于现有的分母序列和设定的“误差”大小，我们能找到无穷多个分数来逼近所有无理数吗？

杜芬和谢弗根据误差的大小来衡量何时可以这样做。如果选择的误差通常足够小，那么随机选择的无理数只有有限数量的好的近似值:它可能落入具有某些分母的近似值之间的间隙。然而，如果误差足够大，将有无数的分母可以产生一个好的近似分数。在这种情况下，如果误差也随着分母的增加而减小，则可以选择尽可能精确的近似值。

因此，杜芬和谢弗猜测，结果要么是您选择的分母列表能够以要求的精度逼近所有无理数，要么是没有一个能够被逼近。也就是说，你要么得到一切，要么一无所有，没有中间立场。

这是有理逼近中非常常见的表达式。数学家大多认为杜芬和谢弗提出的标准是正确的。然而，要证明它的正确性要困难得多。这个问题的证明也成为数论中一个具有里程碑意义的开放问题。

统治者的全能性

如果您现在想要近似0到1之间的所有无理数，并且您选择的分母是1到10之间的整数，那么可用的分数是:1/1，1/2，2/2，1/3，2/3...9/10，10/10。然而，在这些分数中，一些数字是重复的，例如2/10=1/5，5/10=1/2，等等。

因此，杜芬-谢弗猜想包含一个专门用来计算每个分母能给出的唯一分数(最简单分数)的术语。这个术语叫做欧拉函数。例如，10的欧拉函数是4，即1/10、3/10、7/10和9/10。下一步是计算每个最简单的分数可以近似多少个无理数，这取决于允许的误差。

一旦确定了分数和误差大小，就可以开始寻找无理数了。我们可以在从0到1的数轴上标记这些分数，然后将错误术语描述为从分数两边延伸的“网”。根据设定的条件，所有陷入网中的无理数都是近似的。下一个大问题是:有多少个无理数？

首先，数轴上的任何区间都包含无穷多个无理数，所以我们不能用一个精确的数字来表示被网住的无理数的数量。所以数学家们转而研究无理数总数中每个分数所占的比例。杜芬-谢弗猜想是把每一个近似分数所对应的无理数集合的比例相加:如果这个和趋于无穷大，这意味着所有的无理数都被近似了；如果这个和停在一个有限的值上，这意味着你无法逼近任何无理数的实现。因此，这是一个关于无限序列是发散还是收敛的问题。

最后，在2019年夏天，牛津大学和蒙特利尔大学的数学家詹姆斯·梅纳德和迪米特里斯·库库洛普洛斯在arXiv上发表了他们的证明，解决了存在了近80年的问题。

数字上的阴影

梅纳德是一位算术科学家。他通常的研究主题与素数有关。在梅纳德和库洛普洛斯之前，大多数相关研究都将这个问题归结为分母的主要因素。然而，梅纳德建议，这个问题应该被视为数字的阴影:例如，在数轴上，分母为100的分数周围的所有无理数都应该被着色。如果误差足够大，那么每隔一个分数加上其他数的分母也可以覆盖这些无理数。结果，几乎每个无理数都会被着色无数次，从而导致重复计数？

对于一些类似的数字，重复计数的问题并不大。例如，分母是由质数组成的分数。然而，当分母是其他序列时，重复计数将带来巨大的挑战。当两个分母有许多相同的素因子时，就会发生这种重复计数。例如，分母10和100都具有素数因子2和5，并且可以用n/10的分数来近似的数具有与可以用n/100的分数来近似的数的高重叠区域。

梅纳德和库库洛普洛斯用一串点的图形解决了这个问题。不同的点代表用于近似的分母。如果两点有许多共同的素因子，它们是相连的。这样，图的结构编码了由这些分母近似的无理数之间的重叠。使用这种方法，他们不仅为这个猜想提供了证据，而且为所涉及的结构问题提供了清晰的视觉信息。

数学家们认为梅纳德和库库洛普洛斯已经取得了数学上最困难的成就之一。然而，鉴于两人发表的44页长且复杂的证明，其他数学家可能需要几个月的时间才能完全理解这种方法的所有细节。

论文链接:

https://arxiv.org/pdf/1907.04593.pdf

参考链接:

[1]

[2]http://www . scientific American . com/article/new-proof-solutions-80岁-无理数-问题/