从割圆九法到卡塔兰数——清初少数民族科学家明安图（下）

这本书以“半个世纪的星空观察”继续。

也就是说，清初的蒙古科学家明嘎图在研究天文历法的过程中致力于数学研究。研究的重点是寻找计算圆周率的无穷级数。因为他明白，对圆周率准确性的追求不仅能促进科学的发展，而且反映了人类对真理的渴望。在中国古代，圆周率是用圆周率来计算的。虽然想法是正确的，但精确度不高。明加图想找到一个类似于无穷级数的公式，但是多年的努力失败了。就在那时，他听说法国传教士杜迪带来的书中有三个关于圆周率的无穷级数公式。这让他极度兴奋。

这是什么配方？

第一个无穷级数公式

这三个公式分别是西方数学家求圆周率、法向量和正弦的无穷级数展开式。无穷级数是高等数学中的一个重要概念。它的出发点是通过无休止的加法运算来控制达到最终结果的过程。举一个流行的例子:“1+1/2+1/4+1/8+1/16……”结果将无限接近2，但不等于2。

明加图看到的第一个无穷级数公式是由英国科学家牛顿创建的，主要用于计算圆周率。另外两个是由英国科学家格雷戈里创造的，主要用于寻找法向量和正弦。

牛顿的无穷公式(图来源:著名隐藏工作者的古代数学)

不幸的是，尽管达德利带来了公式，但他没有证明这个过程。因为这个过程对于普通人来说太难理解了，抄袭也很容易出错。常言道，“知道它是什么，但不知道它为什么。”这绝对不利于数学的发展。

为了证明这三个无穷级数公式，明加图进行了长期的思考和计算。稍事休息后，他把自己关在船舱里，寻找三个公式的证明过程。经过20多年的不断研究，他终于从传统的割礼中找到了一个方向。切片是由中国魏晋时期的数学家刘辉提出的。具体的方法是用圆的内接多边形的面积来计算圆周率(中国古代称之为“密度比”)。多边形的边越多，它越接近圆，并且计算的圆周率越精确。

切割圆的原始草图(来自网络)

“既然割线技术可以计算密度，这种思维不也可以用于弧的计算吗？毕竟，圆弧是圆的一部分。”明加图兴奋地想。

几年后，他终于发明了“截圆连比例法”，证明了西方的三个无穷级数公式。在中国传统计算方法的基础上，结合西方连续比例法，将圆弧分成若干等份，得到一系列三角形。三角形的边长是相应的弧长(弧的弯曲边)、弦长(弧的直边)或上升高度(从拱顶到拱底的高度)。弧分割得越薄，虚线离弧就越近，这与割线圆的概念相同。这种方法为以后研究高等数学中的三角函数展开开辟了一条新的途径。

坚持不懈地努力。在证明三个无穷阶公式的基础上，明加图花了几年时间开拓和证明了六个全新的无穷阶公式。这六个公式主要基于弧长、弦长和矢量高度的计算。在现实生活中，它们经常被用于拱桥施工的计算。

引领世界切割圆的九种方法

李炎说，后世是封建文人的最高理想，十八九岁的明加图也不例外。在过去的30年里，他写了一本数学专著《截圆密度率快速法》，论述了无穷数公式和证明过程。不幸的是，当他刚完成初稿时，他病得很重。在他死前，他把四卷手稿交给了他的第三个儿子明信，并要求他和他的学生完成修改。明信继承了他的遗志，与陈、、张、等同学反复讨论、计算、校对，终于在1774年完成了定稿。1839年，在数学家罗世林和岑·龚建的主持下，这本书出版了。

“割圆密度率快速法”的书影(网络图)

作为清代中前期杰出的数学专著之一，《截圆密度比快速法》中的《截圆九法》(西方三法、六法的证明过程及作者首创的证明过程)在当时的国际圆周率研究中处于领先地位。书中体现的截圆思想对我国现代数学的发展产生了重要影响。

18世纪中叶，董佑成、、戴旭等清代数学家在研究切圆密度的方法后，将切圆九的方法应用于函数，促进了微积分的发展。在西学东渐的过程中，西方微积分并没有传入中国。中国数学家只是自学了微积分，并独立进入了高等数学领域。特别是戴旭，在过程对数约简法中发展了一种对数的制作方法。这种方法是基于数学家薛凤佐(中西历史学家薛凤佐)的对数研究的新成果。

国内外学者对明嘎图和割圆密度率快速法给予了高度评价。清代科学家李炎说:“他用了30年的心血写出了《截圆缩率法》...这个数字和形状的结合相当于笛卡尔创造的解析几何。”日本数学史家吉雄和英国著名学者李约瑟也从不同角度高度赞扬了明加图对现代高等数学的贡献。明加图开创了数学中弧长、弦长和上升的算法，对我国乃至世界都具有重要意义。

卡特兰数字首次被发现

微积分是现代高等数学的一个分支，主要用于解决复杂的数学问题。卡塔兰数在微积分中起着重要的作用。除了在生活中应用复杂的图像阵列外，它还用于计算机二进制高级编程。

虽然加泰罗尼亚数字被西方科学家加泰罗尼亚语深入研究并以其命名，但真正的发现者实际上是明加图。中年的明加图在专心学习西方高等数学时，对三角函数非常感兴趣。在长期复杂的计算中，他发现了一个“有趣的数组”。前几项是:1，2，5，14，42，429，1430 …中间有一定的规则，可以用函数公式来表示。

命格图中发现的卡塔兰数(第三卷，塞奇秘密率揭法，网络图)

明加图在“截圆紧率法”中详细地写下了“有趣的阵列”。这本书列出了数组中的前几十个数字。经验告诉他，这个数组将对未来的高等数学有很大的影响。因为他对西方数学没有透彻的了解，也没有接触到更高级的数学知识，所以多年来他无法深入研究，只能停留在表面。他希望后代能够继续他们的研究。

30多年后的1778年，比利时数学家卡罗琳·查理·卡特兰也在科学研究中发现了明加图的“有趣阵列”。精力充沛的他不仅从数组中计算出前100个数字，还进行了全面深入的研究，并写了一篇论文将其公之于众。为了纪念他的贡献，后人将“有趣的数组”命名为“加泰罗尼亚数字”。

加泰罗尼亚数字的前五位示意图(来自网络)

结束

大约在1765年，也就是甘龙去世后30年，领域科学家明加图在北京去世。法院派人向明家表示哀悼。经过康熙、雍正、三代，秦工作了50多年，一生致力于天文、历法、数学研究和地图测绘，真是一大成就。

虽然《明加图》的史料记载不详细，但后人并没有忘记他。1971年，他的家乡正象白旗人民*提议将察汉瑙镇改名为明嘎图镇，并在这里建立国家天文台明嘎图太阳观测基地。目前，明嘎图镇已成为正象白旗的政治、经济、文化中心，被评为“自治区六星级文明镇”。2002年，IAU同意将小行星带中的小行星28242命名为“明嘎图星”。命格图的名字一直留在天空和地下，并一直受到人们的称赞。这应该是对这位清朝早期蒙古科学家辛勤生活的最好纪念。

中国科学院国家天文台明嘎图站明嘎图镇(邓翔)

[参考]

1.《明加图在秦50多年工作的历史回顾》，史钧主编，《内蒙古大学学报》，1963年。

2.《占主导地位的古代数学》，李慕南主编，中国环境科学出版社，第一版，2006年。