Hardy 定理

GHZ定理的逻辑矛盾论证方法很容易推广到三体以上的系统，但它不适用于两体系统。基于此，1993年Hardy提出了2-Qubit系统的Hardy定理，亦称为Hardy佯谬。

1、定义

与GHZ定理类似，Hardy定理是一种重要的研究贝尔非定域性的“无不等式方法”。其重要性被Mermin评论为“最简单形式的贝尔定理”和“量子力学非凡土壤中最奇特和最美的瑰宝之一”。Hardy佯谬的奇特之处在于可以构造出三个几率P1，P2和P3，当要求这三个几率全部为零时，那么按照经典理论（定域隐变量理论）必然导致第四个几率P4为零，然而根据量子理论却可以找到非零的几率P4。P4称为成功几率，对于两比特而言其最大值可达约0.09。尽管这个值很微弱，却显示出量子力学与经典理论的本质不同。随后，两比特Hardy佯谬的预言得到了基于光子实验的验证。两比特Hardy佯谬的一个推广方向是建立任意两体d维系统的Hardy佯谬，2013年人们首次以统一数学形式完成了该项推广工作，并且发现随着维数d的增大Hardy佯谬的成功几率逐渐趋近0.5。两比特Hardy佯谬的另一个推广方向是建立任意N-QubitHardy佯谬。2004年Cereceda首次给出N-QubitHardy佯谬的一种推广，并指出该佯谬最大的成功几率能够达到1/8，并于三粒子最大纠缠态处获得。基于该佯谬，Cereceda同时推导出N-QubitHardy不等式，两比特Hardy不等式恰好等价于CHSH不等式。2012年Yu等人正是利用N-QubitHardy不等式彻底解析证明了任意N体纯态情形的Gisin定理。2018年，人们建立了N-QubitHardy佯谬最一般的框架理论，而Cereceda版本的Hardy佯谬只是其中的一个特例。依据更一般的Hardy佯谬，其最大成功几率能够达到1/4，并于3-Qubit最大纠缠态处获得，该结果易于进行实验检验。