大力士和欧拉的公式

你还记得儒勒·凡尔纳书中的体育强人马尔蒂夫吗？“头又大又高，胸部像铁匠的风箱，腿像粗木柱，胳膊像鹤，拳头像锤子……”小说《马蒂斯·桑德尔夫》中对大力士的贡献有很多描述，但给读者印象最深的可能是他用手抓住了水中的一艘“特拉库洛”船。关于这件事，小说的作者告诉我们:

支撑船体两侧的支撑已经被拆除，船准备下水。只要解开缆绳，船就会滑下来。五六个木匠已经在船的龙骨下忙碌了。观众好奇地看着这部作品。然而，就在这个时候，一艘快艇出现在人们面前，围绕在河岸的突出处。原来，这艘快艇必须经过码头前面，在那里“Trapocolo”号将下水进入港口。因此，当他们一听到快艇发出的信号，船上的人就停止了理解启动缆绳让快艇先通过的操作，以免发生事故。如果两条船，一条横着跑，另一条以很高的速度跑，快艇肯定会被撞沉。

工人们停止了殴打。所有的眼睛都盯着那艘华丽的船。船上的白帆在夕阳下像镀了金。快艇很快出现在码头前。码头上成千上万的人欣喜若狂地看着它。当快艇的右舷正对着它的时候，突然听到一声尖叫，“Trapocolo”，开始向下翻滚。两艘船即将相撞。没有时间也没有办法阻止这场悲剧。“空中飞人”迅速侧身滑到下面...船头卷起了摩擦造成的白雾，船尾已被淹没。

突然，有一个人抓住了挂在“特拉帕科洛”前面的电缆，使劲拉，几乎把自己弯到了地上。不到一分钟，他就已经把电缆绕在地上的铁桩上了。他冒着被摔死的危险，用超人的力量用手抓住电缆约40秒。最后，电缆断了。然而，这40秒的时间就足够了:“在飞人进入水中后，她只是轻微地摩擦了一下快艇，然后向前驶去。

快艇脱离危险了。至于那个没有造成如此迅速发生的悲惨事故的人——即使其他人没有时间帮助他——是马蒂夫。

如果小说的作者听说这样的荣誉并不需要像马尔蒂夫那样像老虎一样强大的巨人，但是每个聪明的人都能做到，他会非常惊讶。

力学告诉我们，当缠绕在桩上的绳索滑动时，摩擦力会达到很大程度。绳子转得越多，摩擦力就越大。摩擦力增加的规律是:如果因子按照算术级数增加，摩擦力按照几何级数增加。因此，一个孩子可以平衡很大的重量，只要他能把绳子绕在一个固定的绞盘上三四次，然后抓住绳头。河边的码头上经常有一些青少年，所以他们用这种方法让载有数百名乘客的船靠近码头。事实证明，在这里帮助他们的不是他们不寻常的臂力，而是绳子和桩之间的摩擦力。

在18世纪，著名的数学家欧拉曾经确定了摩擦力和绳子绕桩的圈数之间的关系。我现在引用下面欧拉的有用公式给不怕简洁代数语言的读者:

F=feka

在这个公式中，f代表我们使用的力，f代表我们想要对抗的力。e代表数字2.718...(自然对数的底部), k代表绳索和桩之间的摩擦系数。a代表转角，即绳索缠绕的弧线长度与弧线半径之比。

将这个公式应用到儒勒·凡尔纳的故事中，结果非常令人惊讶。这里，力F是船在缆绳上滑下码头的拉力。我们从小说中得知这艘船重50吨。假设码头的坡度是1/10，那么作用在缆绳上的不是船的全部重量，而是全部重量的1/10，即5吨或5000公斤。

此外，k值(电缆和铁桩之间的摩擦系数)计算为1/3。a的值不难计算。如果我们假设马蒂福曾三次将电缆绕在桩上。这时:

a=(3×2πr)/r=6π

通过将这些值代入欧拉公式，可以得到:

5000=f×2.726π×(1/3)+=f×2.722π

未知的数字(即所需的人力)可以用对数来计算:

Log5000 = logf+2π log2.72，f = 9.3kg = 93n

因此，这个大力士只需要93牛顿的力就能拉动缆绳，做出了这一伟大的贡献！你不会认为这个值——93头牛——只是理论上的，实际需要肯定比这个大得多。相反，这个数字对我们来说太大了:在古代，麻绳和木桩被用来系船。在这两者之间，摩擦系数k大于上面使用的值，所以所需的力小得可笑。只要绳子足够结实，能承受拉力，即使是一个力气很小的孩子，在把它放在一堆绳子上转了三四圈后，也能在这部儒勒·凡尔纳的小说中为大力士争光，甚至超过他。