圆周率公式隐藏在量子物理中

1965年，英国数学家约翰？约翰·沃利斯出版了一本数学专著，在书中他推导出一个公式，并发现圆周率等于无限分数的乘积。

这两页是约翰写的？约翰·沃利斯的《无穷算术》。在左边的表格中，重复的正方形代表4/π，即正方形面积与其内切圆的比值。沃利斯根据这张表推导出右图顶部的不等式，最后得到圆周率公式。

现在，罗切斯特大学的科学家们又有了一个重大发现。他们在氢原子能级的量子力学计算中发现了相同的公式。

“我们没有刻意寻找沃利斯的圆周率公式。这完全是一个惊喜，”罗切斯特大学粒子物理学家卡尔说。卡尔·哈根说。在注意到量子力学课上分配给学生的习题解答中有趣的规则后，哈根找到了数学家塔玛尔？经过研究，塔玛·弗里德曼发现这条规则是沃利斯圆周率公式的另一种形式。

“这太出乎意料了。当我从氢原子方程中得到沃利斯公式时，我兴奋得手舞足蹈，”弗里德曼说。“最特别的是，它发现了物理和数学之间的奇妙联系。令人惊讶的是，一个17世纪的纯数学公式可以用来描述300年后建立的物理系统，不是吗？”

科学家在《数学物理杂志》上报道了这一发现。

在量子力学中，有一种叫做“变分法”的计算技术:如果某些量子系统(如分子)的能量状态不能精确计算，它们可以用变分法近似。哈根正在教学生变分法。他想让学生将变分法应用于一个真实的物体，氢原子。氢原子是一种非常罕见的量子力学系统，它的能级可以精确计算。因此，通过用变分法进行近似计算，并将结果与精确解进行比较，学生可以计算出近似方法的偏差。

塔玛。塔玛·弗里德曼和卡尔？卡尔·哈根的计算结果表明，π可以由一个特定的数学函数(称为γ函数)导出。

资料来源:塔玛·弗里德曼和卡尔·哈根/罗切斯特大学

当哈根开始独自研究这个问题时，他立刻注意到了一个规律。变分法对氢原子基态的偏差为15%，对第一激发态的偏差为10%。随着激发态能级的增加，偏差变得越来越小。这不符合一般规律，因为变分法在计算最低能级时通常是最精确的。

哈根找到了弗里德曼，并想看看通过继续增加能量能有什么新发现。他们发现变分法的极限接近物理学家尼尔斯？尼尔斯·玻尔在20世纪早期提出了氢原子模型，其中电子轨道被描述为一个规则的圆。这也是玻尔对应原理的自然结果，玻尔对应原理认为量子系统的行为可以用大半径轨道的经典物理学来描述。

“在低能轨道上，电子的轨迹是模糊和扩散的，”哈根解释道。在高激发态，轨道被限制在一个更清晰、更明确的区域，半径的不确定性也降低了

沃利斯在18世纪发现的经典圆周率公式。资料来源:罗切斯特大学

随着能量的增加，哈根和弗里德曼从变分分解的极限公式中发现了沃利斯圆周率公式。

量子力学理论诞生于20世纪初，沃利斯的圆周率公式已经存在了数百年，但两者之间的内在联系直到今天才被发现。

“大自然已经保守这个秘密将近80年了，”弗里德曼说。“我很高兴我们终于找到了它。”(翻译:许立校订:丁)