近代数学时期

从17世纪中叶到19世纪末，由于欧洲没有强大的统治政权，长期的封建割据政权导致战争频繁，欧洲的科技和生产力发展相对缓慢，数学也停滞不前。中世纪末期，随着奥斯曼帝国不断入侵东罗马帝国，东罗马帝国给意大利商业发达的城市带来了大量的古希腊和古罗马文化经典和艺术珍品，古希腊数学也被带到了这里。随着文艺复兴在整个意大利的传播，数学也迎来了新一轮的发展高峰，引领了世界数学的发展。

15世纪，缪勒的“三角百科全书”是对欧洲在平面和球面学方面成就的全面阐述。16世纪，塔塔格里亚凭着自学和顽强的毅力在数学方面取得了巨大的成就。他发现了三次方程的代数解，接受了负数，并使用了虚数。他还培养了许多学生，这些学生继承并发展了塔塔格里亚的数学和力学理论，使其在意大利乃至欧洲具有广泛的影响力。16世纪最伟大的数学家是弗朗索瓦·韦达(弗朗索瓦·维特，1540-1603)，吠陀引入了一套规则——在代数方程中，元音用来表示变量，辅音用来表示方程中的系数。他象征着运算，并使代数成为一门系统的学科。他的名著是《分析方法导论》。他也是第一个用无限运算给出精确表达式的人。苏格兰业余数学家约翰·耐普尔(1550-1617)出版了世界上第一张对数表，简化了计算过程。他还发明了Napier计数芯片，该芯片成为提高大数乘法效率的流行工具。这时，初等数学的主要部分(算术、代数和几何)都已形成和发展，为现代数学奠定了坚实的基础。

现代数学的起点是勒内·笛卡尔(1596-1650)。笛卡尔的重要著作《方法论》及其附录《几何》于1637年出版。它引入了移动点坐标的概念以及变量和函数的概念。由于坐标的存在，平面曲线与二元方程之间的关系得以建立，从而出现了一门新的学科——解析几何，它用代数的方法来研究几何。这是数学的一个转折点，也是发展可变数学的第一个决定性步骤。恩格斯对此评价很高:“数学的转折点是笛卡尔的变量。随着变量，运动进入数学。随着变量，辩证法进入了数学。对于变量，微分和积分是立即必要的，它们是立即产生的，牛顿和莱布尼茨基本上完成了它们，但他们没有发明它们。“解析几何的另一位创始人是皮埃尔·德·费马(皮耶·德·费玛，1601665)。他的许多重要观点是在与其他科学家的大量信件中提出的。他促进了解析几何基本概念的发展。

17世纪，微积分也被建立。最重要的工作是由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨独立完成的。他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算，并由此给出了微积分的基本定理，即牛顿·莱布尼茨公式。微积分是现代数学必不可少的数学工具。它的应用遍及现代科学的两大支柱:相对论和量子力学。除了建立解析几何和微积分之外，概率论、射影几何和数论也发展迅速，对许多其他领域的发展产生了重要影响。概率论主要起源于骰子赌博游戏。意大利数学家卡尔达诺(1501576)致力于研究赌博的方法而没有失败，并出版了一本赌博的书，其中卡尔达诺给出了一个正确的思想“分配赌注的问题”，但仍然没有给出一个正确的答案。又一个世纪过去了。1651年，法国大贵族德米尔(1607-1684)把这个问题送给了当时著名的数学家帕斯卡。从此，概率论历史上的一个决定性阶段开始了。这个问题困扰着帕斯卡。他苦思了三年才找到满意的解决办法。1654年7月29日，他把这个问题及其答案发给了法国数学家费马。很快，费马在回信中给出了另一个解决方案。他们经常互相交流，并开始围绕赌博中的数学问题进行深入细致的研究。在荷兰科学家惠更斯了解到这些事情后，他回到荷兰独自研究这个问题。1657年，他将自己的研究成果写进了专著《骰子游戏中的计算》，该书首次引入了数学期望的概念，被认为是最早的概率论专著。至此，持续了一个半世纪的“分注问题”终于得到圆满解决。随着这本书的出版，数学的一个新分支——概率论诞生了。帕斯卡、费马和惠更斯被认为是概率论的创始人。

18世纪见证了数学的蓬勃发展。以微积分为基础，发展了一个广泛的数学领域——数学分析(包括无穷级数理论、微分方程、微分几何、变分法和其他学科)，后来成为数学发展的主流。数学方法也经历了一次彻底的转变，主要是欧拉、拉格朗日(1736-1813)和拉普拉斯(1749-1827)完成了从几何方法到分析方法的转变。本世纪数学发展的动力不仅来自物质生产，而且直接来自物理，特别是来自力学和天文学的需要。

19世纪是数学史上的一个伟大转折点，这在两个方面得到了强调。一方面，现代数学的主体已经成熟。经过数学家一个多世纪的努力，其三个组成部分取得了极其重要的成就:微积分发展成为数学分析，方程理论发展成为高等代数，解析几何发展成为高等几何，这为现代数学向现代数学的转化创造了充分的条件。另一方面，现代数学的基本思想和概念在这一时期发生了根本性的变化:在分析中，傅立叶级数理论(J.Fourier，1768-1830)的出现和建立在函数概念上取得了重大突破；在代数中，伽罗瓦(E .伽罗瓦，1811832)群论的出现在代数运算的概念上取得了重大突破。在几何学中，非欧洲几何学的诞生在空间概念上取得了重大突破。这三个突破推动了现代数学向现代数学的快速转变。19世纪的另一个独特贡献是形成了三种理论:实数理论、集合论和数理逻辑。这三个理论的建立为现代数学的发展奠定了更深层次的基础。

摘自清华出版社授权的《科学技术史与方法论》

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