如今的柯尼斯堡桥问题

哥尼斯堡城是由条顿骑士于1308年建立的，400多年来一直是最东端的日耳曼军队的前哨。第二次世界大战后，它被重新命名为加里宁格勒，并成为苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛和波兰之间。——译者注)。哥尼斯堡的七座桥今天看起来怎么样？人们还在试图寻找不可能的路线吗？首先，让我们把哥尼斯堡大桥的问题概括如下

几个世纪以来，哥尼斯堡桥问题提供了丰富的乐趣和数学兴趣。这个问题可以追溯到18世纪初。背景是普瑞吉尔河岸上的哥尼斯堡市。河中的两个岛屿是城市的一部分，由七座桥连接起来。哥尼斯堡的居民有一个快乐的传统:周日沿着城市的河岸和岛屿散步，试图找到一条可以穿过所有七座桥的路线，但不重复任何一座桥。尽管当时大多数人认为这是有趣的娱乐，但一位数学家发现这种娱乐可以带来另一个机会，他抓住了这个机会并加以发展。瑞士数学家莱曼哈德·欧拉(1707 ~ 1783)在圣彼得堡为俄罗斯的凯瑟琳大帝服务时就知道了哥尼斯堡桥。

1735年，欧拉向俄罗斯科学院提交了一篇论文，这篇论文不仅简单地解决了桥梁问题，而且具有更深远的意义，对数学产生了更大的影响。他的新思想开拓了拓扑学的领域。拓扑学不同于欧几里德几何，后者研究尺寸、形状和刚体。它是一种几何学，研究那些即使在物体的大小和形状发生变化时仍保持不变的特征。例如，如果三角形变形为正方形或圆形，拓扑研究对象的哪些属性保持不变。欧拉将哥尼斯堡桥问题的物理背景转换并简化为数学设计(称为图形或网络)。这种设计包含了这个问题并简化了它。对于城市中与桥相连的每一部分，他都用一个顶点来表示，每一座桥都用一条弧线来表示。他的结论是，穿过所有七座桥，再也不回来的问题相当于用铅笔画出整个网络。欧拉将每个顶点定义为奇数顶点或偶数顶点。他指出偶数顶点是由穿过这个顶点的距离引起的，即进入这个顶点并离开这个顶点或从这个点开始到这个点结束的整个距离。另一方面，奇数顶点是由这个顶点成为旅程的起点或终点引起的。因此，任何可以用一个笔画(不重复)绘制的图形最多可以有2个奇数顶点——如果在末端没有奇数顶点，则顶点是偶数顶点；如果一个是起点，另一个是终点，那么在终点必须有两个奇数顶点。此外，他还得出结论，如果图有偶数个奇数顶点，比如说10个，那么当画整个图时，笔离开纸的次数必须是奇数顶点数的一半，即5次。欧拉在他的论述中指出，柯尼斯堡桥问题似乎具有几何性质，但欧几里德几何不适用，因为桥问题不涉及“大小”，不能通过“定量计算”来解决。相反，这个问题属于“位置几何”，这是戈特弗里德·威廉·冯·莱布尼茨在描述拓扑学时使用的第一个名字。因此，欧拉对柯尼斯堡桥问题的解决方案已经成为拓扑学领域的催化剂和指南。

如图所示，七座桥中的每一座都有自己的名字，这可能与桥的另一边有关。今天，原来的七座桥中只有三座——米桥、高桥和木桥。一座新的跨河大桥已经建成。它与两个银行的联系如图所示。它已经完全穿越了内夫岛。导游经常讲关于哥尼斯堡桥问题的故事。一些导游甚至声称这个问题还没有解决。如果新的哥尼斯堡大桥的网络被画出来，这个新问题就没有吸引力了。如果新桥接触到岛的地面，网络将会更加有趣。不幸的是，七座哥尼斯堡大桥已经成为历史，但是这个问题留下的遗产并不像这些桥那样容易被摧毁。欧拉的优秀解仍然是拓扑学史上的一个重要部分。

志燮:特别感谢阿特·库利提供了最新的信息和照片，也感谢罗德·克里特斯把我的注意力吸引到这些材料上。