排列的迷题

小学数学故事:编排的困惑

组合分析，或称组合学，研究事件是如何安排的。用专业术语来说，组合分析是一种根据不同的规则和特征将元素组合成集合的研究方法。

例如，第一个问题是关于不同颜色的球的分组方法。这个问题要求读者根据特定的特征找到最小的彩色球集合。第二个问题是关于淘汰系统根据图表对参赛者进行分组的方法——这也是计算机中重要计算部分的数据分类问题。

组合分析通常需要找到根据某些规则分组的所有组合，例如在苏珊的学校路径中应用所谓的“穷举问题”。在这个问题中，组合元素是沿着模型边缘的弯曲路径。随着几何图形的引入，我们称之为组合几何。

数学的每一个分支都有它的组合问题，你会在这本书的每一节中找到。有组合数学、组合拓扑、组合逻辑、组合集合论，甚至组合语言，这些将在文字游戏一章中看到。组合学在概率论中尤其重要。在找到概率公式之前，有必要列出所有可能的组合。有一组著名的概率问题叫做“机会和机遇”。标题中的“机会”一词指的是综合因素。

我们的第一个问题涉及概率，因为彩球是根据特定的要求排列的。本文提出了如何解决一个类似的简单概率问题。苏珊上学的道路列举了帕斯卡三角形在概率问题中的应用。可能没有任何安排来解决已知的组合问题，可能只有一个安排，可能有几个或无数个安排。两个奇数的组合不能使两个奇数的和仍然是奇数。两个质数只有一个组合，所以两个质数的乘积是21，有三个组合满足两个正整数的和是7，还有两个偶数的无限个组合，所以它们的和仍然是偶数。在组合理论中，更难找到“不可能事件的证据”，也就是说，没有符合要求的组合。例如，最近才证明绘制地图需要五种颜色，这在组合拓扑中曾经是一个众所周知的无法解决的问题。要证明复杂的计算机程序是必需的是不可能的。

另一方面，许多起初难以证明的组合问题，在有了巧妙的想法后，很容易证明。在“恼人的瓦片”问题中，我们看到简单的奇偶校验立即导致组合的不可能性，而这很难用其他方式证明。

关于小球的第二个问题结合了组合的思想和不同数学系统的应用。我们知道我们可以依靠组合的规则，用数学来标记每个位置。事实上，所有的推理，无论是数学的还是逻辑的，都可以用一串组合符号来进行，不管这是不是一个恰当的陈述。

所以，17世纪组合学的创始人莱布尼茨称这种推理技术为排列组合。