数学巨擘阿蒂亚的星辰

迈克尔·阿蒂亚爵士，当今最著名的数学巨人之一，于2019年1月11日去世。在最后一刻，全世界对这位举世闻名的老人最了解的，是他在89岁时震惊黎曼猜想的耸人听闻的消息，以及数学界对这一证明的反对甚至沉默。阿蒂亚的巨大成就和他晚年非传统的学术追求使他的名字在世俗和学术社会中脱颖而出。人们必须停下来向上看，就像他曾经深深凝视精细结构常数以及场论和几何学之间所有可能的联系一样。

阿蒂亚先生于1929年4月22日出生在伦敦。他的父亲爱德华·阿蒂亚来自一个黎巴嫩东正教家庭，他写了许多关于中东问题的评论和作品，比如亚辛大*。他的母亲让·莱文斯来自苏格兰教堂的牧师家庭。一段时间以来，这两个牛津知识分子家庭没有被英国主流社会所接受。迈克尔·阿蒂亚跟随他的父亲，在苏丹和埃及度过了他童年的大部分时光。

或许是他父亲融入英格兰主流社会的愿望影响了他，或许是他童年时萌发的学术热情促使他这么做的。阿蒂亚以牛津和剑桥为目标，很早就开始了他极其艰苦的学习之路。从他的一些自我陈述中可以看出，从他5岁进入苏丹教会学校到20岁进入剑桥三一学院，他付出了巨大的努力并接受了扎实的古典数学训练。在那个饱受战争摧残和艰苦的学年，阿蒂亚的内心开始沉淀出许多学术思想:从数学到化学，再回到数学，他发现了几何的魅力，并肯定会把一生都献给它——但四元数似乎相当诱人。

童年的迈克尔·阿蒂亚

阿蒂亚在三一学院指导教授的论文是拓扑几何专家威廉·斯卡尔·霍奇教授。在他的影响下，阿蒂亚接触到了更现代的几何表示理论和研究思想。从拓扑学到微分几何，当时一个非常新颖和时髦的观点牢牢抓住了他。新兴的分层理论为包括他在内的一代人打开了大门。

过去的积累和他导师的深刻影响使阿蒂亚在26岁时凭借他的著名论文“拓扑方法在代数几何中的一些应用”获得了博士学位。这一精彩时刻似乎只是一个预兆，因为同年7月，他和他的爱人莉莉·布朗结婚，并在三一学院遇见了她，然后迎来了他一生中最重要的学术爆炸。

婚后，阿蒂亚有机会在普林斯顿继续深造，而莉莉已经是贝德福德学院的讲师了。在竞争激烈的学术界，很难理解第二次世界大战结束后不久，女性放弃这一职位，跟随丈夫来到大洋彼岸意味着什么。在今天人们的回忆中，只有一个女人在普林斯顿成就了一颗新星，在数学和物理领域实现了学术爆炸——这甚至让物理学家有点不知所措，而这个女人的心却深深地植根于历史之中。

正如你在一开始看到的，阿蒂亚先生的学术风格完全不同。回顾他一生的工作，他似乎可以总结如下:他最终关心的是对某一问题形成一个完整而透彻的看法；为了达到这个目标，他可以让思想静静地沉淀和传播，没有结果或界限。他也欢迎任何技术、任何思想和任何与他自己思想的碰撞，以形成对问题全新的深入理解。至于学术成就，似乎只是这些思想和碰撞的副产品。阿蒂亚先生最重要和最深远的关注可能是所有物体(无论是空间还是物质，抽象概念还是物理现实)之间的联系:几何和代数，拓扑和分析，空间和场，电和磁，甚至整个数学和物理，抽象和现象。

当阿蒂亚先生和他新婚的妻子去普林斯顿大学时，他遇到了许多对他的学术思想和轨迹有很大影响的人，包括他一生中三个最重要的合作者:和他一起工作以证明“指数定理”的伊莎多尔·辛格，和他一起工作以证明“不动点定理”的拉乌尔·博特，和和和他一起工作以奠定拓扑K理论的弗里德里希·布鲁特。

说到几何，人们必须注意空间的基本结构。如果我们说构成物理现实的是一个场，构成数字系统的是一个质数，那么我们对空间的最简单的看法来自哪里？当然，有些人可能会说，这是一个三维平面(无限)“空房子”，在其中可以定义点，也可以定义箭头(带方向的线段)，并且该箭头的方向在绕着点旋转后将自然保持不变。然而，还有一个更复杂(或更基本)的情况:想象一下莫比乌斯环，在这种几何结构中，箭头转动的方向与原来的方向相反。如果将这样一个奇怪的结构推广到更一般的高维空间(矢量纤维束)，应该如何研究它？

起初，人们用相对简单的方法研究这些概念，如集合论和层次论。一些计算和定义相当复杂和模糊。另一方面，Atia和他的合作者(主要是Hitzer bulut)从拓扑学的角度重新定义了拓扑空间中最初由层理论研究的概念，为建立拓扑K-理论和后来更一般的K-理论奠定了必要的基础。在阿蒂亚先生的拓扑学理论中，一些原本难以定义和计算的概念变得简洁而易于计算。此后，Atia和Bote结合Bote的研究成果(描述同伦群周期性的定理)，提出了“Atia-Bote不动点定理”，为研究向量纤维束上的椭圆微分算子提供了方便(正如圆可以推广为椭圆，拉普拉斯算子也可以推广为椭圆微分算子)。在这方面，Atia先生和他的许多合作者发展了一套拓扑K理论，它是基于向量纤维束的拓扑研究，并为以后更一般的上同调理论和椭圆微分算子研究提供了一个强有力的工具。他随后与不同的合作者一起发表了几部重量级的著作，涉及上同调理论、共配论研究、球簇、线簇和克利福德代数，极大地推动了代数几何的进步。

随着这股学术爆炸的浪潮，阿蒂亚先生开始向数学界展示他极其独特的学术路线:当他需要对一个问题形成一个观点时，他一方面进行了深入的探索，另一方面，为了扩大“圈子”，为了技术链的缺失或思维缺失的角度，寻求合作，拓宽路线和改进方法。这些结果不仅帮助他形成了一个深刻的观点，而且也成为了一个为更深的观点做准备的有力工具。令人惊讶的是，这更像是一条工业路线，而不是一般的学术风格。

数学是科学技术链中最基本的一端。每个方向都非常困难和模糊。小领域之间的隔离非常强。这与实际行业的标准化、规模化合作方式相去甚远。因此，大规模的数学合作并不常见。它要求合作者有很强的学习和协调能力，并对目标问题所需的技术有深刻的理解。学者们为数学的建立添砖加瓦。像牛顿这样的伟人像巨人一样奠定了现代数学的基础。像高斯这样的伟人，像隐士一样，经常违反自然法则。阿蒂亚先生像工程师一样，通过联系和协调许多同行，形成了拓扑K理论的殿堂，为代数几何的发展提供了一个良好的框架。即使是现在，工程师的蓝图仍然极其广阔。它几乎覆盖了当时的整个拓扑，并向外扩展。他对代数几何、几何描述的客观空间、空间中存在的材料和函数非常感兴趣。

阿蒂亚先生最著名的作品是《阿蒂亚-辛格指数定理》，它被描述为太阳。许多重要的数学定理和物理问题必须围绕着它才能容易地解决。定理的内容很简单:

紧致流形上椭圆微分算子的解析指数和拓扑指数相等。

定理中的椭圆微分算子出现在大量描述客观物理规律的方程中，它们的指数表示这些方程的解数。因此，指标的定义和计算对数学和物理来说是非常关键的。在“阿迪亚-辛格指数定理”提出之前，学者们遇到了以下问题:用解析法定义指数相对简单，但不容易计算。用拓扑方法定义指标是复杂和模糊的，但计算相对简单和直接。如果我们能知道这两个指标之间的关系，将会极大地促进数学和物理的发展。阿蒂亚先生和他的合作者辛格、布鲁特和博特对这个问题作出了决定性的贡献，并最终证明了指数定理。他们的证明有很多版本，不仅包括他们擅长的拓扑K理论，还包括理论物理学家擅长的传热方程。因此，该定理不仅连接了数学中拓扑学和分析的两个视角，而且在其理论价值和证明过程中，为数学和物理的融合架起了一座桥梁。

这一系列的工作使阿蒂亚先生闻名于世，并因他在代数和几何方面的杰出结合和许多重要成就而获得1966年的菲尔兹奖。在随后的重量级奖项和杰出荣誉的包围下，阿蒂亚的思想仍在深入扩展。

他的蓝图向外呈现，逐渐变得清晰。客观物理和物理概念之间的联系深深吸引了他:如何理解量子物理？如何理解规范领域世界和直觉理解之间的区别？如何理解电和磁？当手中的工具足够强大时，阿蒂亚开始面对这些更深更难的问题。我们应该知道，数学问题只需要被证明在逻辑上是自洽的，而物理理论不仅需要自洽，而且必须经过实验测试。如何平衡严格逻辑和实验现实通常是严格数学家面临的挑战。

Atia先生对这些困难无动于衷，从椭圆微分算子开始，“以他自己的速度”，继续深入思考一系列在当时对量子物理有重大影响的偏微分方程。在这个过程中，他试图将不同方程的相似解联系起来，并为一些难以理解的解提供一些与直觉相关的数学解释。换句话说，他仍然在思考以追求一个问题，把不同的概念与最初的思维联系起来，等待新的碰撞，寻求新的观点。

在量子力学和量子场论的方程式中，可能有一个能量最低的奇怪解，允许量子态“位于”两个不同的位置。为了在更经典的层次上理解这个量子特性，人们已经把这个解改写成一个粒子，它的行为似乎在这两个位置之间瞬间来回跳跃。这个解决方案被称为“瞬间”。在与奈杰尔·希钦和辛格讨论后，阿蒂亚和他的合作者对瞬子进行了方便的分类，并给出了四维(紧)黎曼流形上瞬子的模空间维数的计算方案，即“阿蒂亚-希钦-辛格定理”。此后，Atia和他的合作者证明了瞬子问题可以简化为代数几何问题，并给出了该问题的更一般的解决方案，并利用四元数进一步优化了理论表达式。

从那以后，Atia的思维扩展到了量子规范场理论更核心的问题:为什么电和磁有不同的位置。换句话说，既然有一些带电粒子，为什么没有磁单极？这个问题在中学基础物理、大学现代物理和当代前沿研究中有着完全不同的意义。然而，无论从哪个层面来看，都可以模糊地感觉到，这个问题涉及到互动的核心。阿蒂亚大师是什么？他解决这个问题的方法是用四元数代替复数，用相同的电和磁位置直接重建场论，并更严格地证明磁单极子的相互作用定律。科学家用方程式质疑这个世界，这个世界在实验中得到模糊的回答。不幸的是，这个问题的世界答案仍然非常模糊，阿蒂亚没有等待答案。

从用物理方法证明几何定理，到把瞬子问题归结为代数几何，到磁单极子问题的四元数描述，再到从宏观角度同时观察精细结构常数和黎曼猜想，很难说阿蒂亚先生多次将数学和物理融合是偶然的。也许在他的思想中，数学和物理根本没有分开。他们成为一个整体，成为他自己的“真理”，阿蒂亚需要通过他的一生和所有手段来追求。

从这个角度看他70年的学术生涯，阿蒂亚似乎成了被晨星吸引并拼命追逐的一滴水。起初，水滴似乎与浩瀚的海洋没有什么不同。然而，它从未停止追逐，沿途连接所有的河流和雨水，用尽所有可能的方向和路径，变得越来越强大。渐渐地，有了波浪，最后，有了漫天飞舞的桃子和李子的巨浪。当支撑波浪的水滴变老时，它从未停止。它清除了波浪，清除了沿途散落的桃子和李子，疲惫地向前移动。在他心爱的妻子离开后大约十个月，追逐晨星的男人变成了一颗星，最后一道闪光是精细结构常数和反映在水滴上的黎曼猜想。

这颗星高于人类文明，也高于一个小家庭。当恒星也变老，膨胀和坍缩，引发氦闪时，是数学花瓣还是莉莉的名字被抛出了核心？

作者简介:于，理论物理博士，北京大学研究助理，研究方向为数学物理、标准模型和量子引力。