他的疯狂，却意外奠定了现代数学的基石

说是无限的，说是无限的。

自古希腊以来，毕达哥拉斯学派就开始研究整数。整数和整数之比被认为已经穷尽了自然界所有数字的奥秘，直到无理数的发现推翻了人们的对数概念。从那以后，人们小心翼翼地处理了所有与无理数相关的知识。然而，有理数和无理数都是基于“有限”数，没有人会试图回答“无限”的问题。

无限，无限，那只对应于哲学概念，或者人们仰望浩瀚星空时对宇宙的卑微理解。这是一个自古以来就被视为上帝专属领域的领域。每个试图理解无限的人都会面临一个不可逾越的障碍。

数学家高斯(来源:百度图片)

2000多年后，人类历史上最伟大的数学家高斯在面对“无限”这一高耸的科学危险顶峰时，表达了他对“无限”的恐惧。高斯说:我反对把无穷大作为一个完整的东西，这在数学中是绝对不允许的。无限只是语言的一种表达。它的真正含义只能表达为一个可以无限增加的数字。

康托敏锐地发现了高斯断言中的疑点。他认为高斯表示的无穷大只是一个“潜在的无穷大”，也就是说，这样的无穷大是一个可变的有限量，可以增加到超过任何有限的极限。康托认为，还应该有一个“真正的无限”，也就是说，它是一个超越一切界限的固定常数。坎特的观点是开创性的。正是这种观点驱使康托为所有可能的无限寻找可识别的规则。

数学家戴德金(图像来源:百度图像)

事实上，在19世纪下半叶，数学家们向分析的严格运动已经迫切需要澄清无限的概念。另一位德国数学家戴德金首先试图对“无限”做出初步解释。他发现无限系统和有限系统有以下本质区别:无限系统可以类似于自身的一部分，而有限系统不能。

1873年，年仅28岁的康托也对组装和无限问题表现出极大的兴趣，并以新生小牛的无畏精神解决了这个问题。由于努力工作有回报，康托找到了一种方法来研究无限集合的度量。

在康托看来，有无限元素的集合可以计算其元素的数量，而两种无限事物的集合的数量在大小上也应该是可比的。此外，应该区分由整数集合形成的无穷大和由整组实数形成的无穷大。所有这一切都取决于集合度量的关键概念:一对一的对应关系，它被用作度量集合大小的尺度。

康托提出，如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系，那么它们的数量应该被认为是相等的。

同年12月7日，他给戴德金写信，讲述了他的发现。许多年后，人们把这一天视为集合论的诞生日。

一年后，康托遇到了戴德金。康托与他充分沟通后，发表了集合论的研究成果。在本文中，康托建立了一个类似于所有代数数集的概念。这个想法已经得出了一个不可思议的结论，但它具有开创性的意义。

在接下来的十年里，康托继续致力于这一领域，并逐渐发展了无限数论，创造了类似有限数运算的无限数论。在过去的2500年里，他的无穷理论成为数学史上最具独创性的贡献之一，并立即在数学领域引起了轩然大波。

在这种观点中，康托发现任何无限集合都包含至少一组自然数，因为每个元素至少可以按照自然数1、2、3等的顺序来识别。这样，如果所有自然数集合的数目被记录为“零”(即最小的无穷大)，那么任何无限集合的数目将至少是“零”。康托按照他自己的想法一步一步地进入这个从未见过的领域，一个惊人的结论诞生了。如果由所有实数组成的集合的数目被记录为“alef”，那么“alef”不仅远远大于“Alef零”，而且正好等于“Alef零”的2的幂！事实证明，无限也可以在大小上进行比较，并且有一定的身份来揭示这种奇妙的关系。

从此，无限世界的大门终于向世界敞开了。尽管那时仍有许多人在门外观看，甚至有些人会阻止探险者不顾一切地试图进入大门，但公园的香味已经溢出，大门内的金光表明它将给予最勇敢的人最慷慨的奖励。

牺牲到无限

康托的集合论认为一个无限集合可以有和它的子集一样多的元素。这远远超出了人们的直觉印象，即整体大于部分。因此，从一开始，康托的想法就没有被大多数人理解。法国数学家庞加莱甚至认为康托的集合论是一种疾病。德国数学家魏尔和克莱因也同意康托关于集合基数的等级观点是“雾中有雾”，他的想法太古怪了。数学家史瓦兹原本是康托的好朋友，他甚至因为反对集合论而和康托分手。

在所有反对康托的数学家中，最激烈的是他的导师克罗内克。

数学家克朗克(图片来源:百度图片)

康托关于集合论的结论主要是基于对存在的证明，而克罗内克一生的信念是结构性的。他坚信，只有当一切都被建构时，我们才能谈论存在，而不能用不确定的经典逻辑以推理的形式给出断言。在克罗内克看来，没有具体构造方法的证明是虚假的胡说八道。因此，克罗内克认为康托的结果是一个危险的数学存在。

克朗克不能容忍康托把数学引入疯人院。他坚信他所坚持的真理是数学的正确道路，所以他用尽全力对康托发起反击。康托论文的手稿被他压制和扣留了很长一段时间。他公开批评康托是神经病、科学骗子和叛徒。他的思想是“过去十年中最具兽性的观点”。

坎特在哈雷大学工作，由于工资低，他想在柏林大学教书。然而，由于柏林大学教授克罗内克的种种阻碍，康托无法终身进入柏林大学的殿堂。在长期的压力下，康托脆弱的神经终于崩溃了。康托在“反叛与群众分离”的学术环境下感到深深的自责和沮丧。他年轻时形成的性格使他感到更加自卑。他不敢和克朗克争论。他甚至开始怀疑自己工作的正确性。他曾要求哈雷大学将自己从数学教授转变为哲学教授。1884年，39岁的康托患有精神分裂症。

此后的许多年里，康托只能在身体稍微恢复和头脑变得清醒时才能继续他的研究。直到1891年克朗克去世，反对康托的最大*终于消失了。数学中对康托的误解逐渐消失了。1895年，康托发表了他一生中最后一部重要的数学著作，为建立超贫数论做出了贡献。他的理论很快引起了全世界同行的注意。

1897年，在第一届世界数学家大会上，法国数学家哈达玛报告了康托的工作。此后，人们逐渐认识到康托集合论在分析、测度论、拓扑学等研究中有很大的应用价值。康托终于得到了他应得的荣誉。

康托于1918年1月6日在哈雷精神病医院去世。

世界最终把荣誉还给了垂死的英雄。伟大的数学家希尔伯特高度赞扬康托的集合论是“数学天才的最佳作品，人类纯智力活动的最高成就之一，也是这个时代可以夸耀的最伟大的作品”。没有人能把我们赶出康托创造的伊甸园”。

现代数学的基石

几乎所有的数学都研究特定的对象。这些对象，从具体的数字、点和图形到抽象的概念，形成了一个接一个的研究集合。因此，集合论自诞生以来就一直在研究一般集合的性质。2000多年来，人们对有限集合的研究越来越多，但只有当康托将无限集合引入集合论时，人们才意识到无限集合与有限集合的显著区别。分析中的实数、极限、连续性等概念都涉及无限集合的性质。康托的发现无疑为分析的严密性奠定了坚实的基础。不仅如此，集合的基本元素和普遍性质的研究很快渗透到数学的各个分支，康托的集合论逐渐成为整个现代数学的基础。

然而，这块基石很快就被发现有裂缝。1902年，英国数学家罗素在康托的一般集合论的边缘发现了一个悖论。这个悖论直接指向集合论的核心——集合的定义。并非所有具有特定属性的抽象概念都可以用作元素并形成集合。从那以后，许多数学家开始提出不同寻常的意见来修补数学大楼的裂缝。

此后，30多年后，集合论的后续发展为数学的广阔领域增加了新的领域——包括新的逻辑理论。为了彻底解决罗素悖论，希尔伯特提出了一个宏伟的计划。他希望遵循古希腊的科学传统，通过建立一套类似欧几里德的公理来消除悖论。然而，这个计划很快被奥地利数学家哥德尔推翻了。哥德尔在他的“不完全定理”中指出，没有一个数学公理系统是“完美的”。任何数学公理系统都需要人为地从外部世界注入新的公理，使其日益完善，但它不能完全自动地避免矛盾。

康托开创的集合论产生了越来越多超乎想象的结果。一方面，康托在集合论中发明的一对一对角方法已经成为证明哥德尔不完全定理的利器。这个定理揭示了完美的数学是不存在的。它的威力不亚于数学天空下的核子弹。它迅速影响自然科学的每个角落，甚至影响人们的世界观和价值观。不仅如此，这种方法还激励图灵在20世纪初发明图灵机，为计算机的诞生铺平了理论道路。

图灵，计算机科学之父(来源:百度图片)

今天，康托去世已经整整100年了。人们不应该忘记每一个为追求真理而献身的科学英雄。人们也应该理解科学研究的真理，它总是曲折的。科学界甚至不欢迎伟大的创意。因此，那些颠覆传统的人，即使他们被发现有很大的价值，也可能受到顽固的正统观念的束缚和压迫，从而失足。尊重创新不仅是一个口号，也是对行动的巨大支持。

我希望人类历史上的悲剧不会重演，所有为真理做出巨大贡献的人的名字将在这个世界上得到应有的赞扬和赞扬。

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