奥尔格·康托尔：他打开了第三次数学危机的魔盒

一堆云。资料来源:Paixin.com

人们很早就知道，如果把一堆具有特定性质的元素放在一起，它们就能形成一个集合。研究集合的理论在数学上被称为集合论。它是许多数学理论的分支之一。然而，它在数学中有着最特殊的地位，它的基本概念已经渗透到几乎所有的数学领域。

经过2000多年的发展，数学已经建成了一座宏伟的建筑。集合论一直是这栋建筑最底层的基础。如果集合论出现裂痕，整个数学建筑可能会崩溃。可悲的是，第三次数学危机发生在数学的基石上。一个关于集合的悖论很快以毁灭性的力量席卷了数学领域，不仅使集合论摇摇欲坠，而且几乎摧毁了现代数学。

2000多年来，数学家们研究基于有限集合的实体，没有人试图踏入无限世界。“无限”的概念显然超出了每个人的认知，它让每个敢于接近的人都害怕得发抖。

17世纪的数学终于迎来了新的生活。牛顿和莱布尼茨单独发明了微积分，但它引发了第二次数学危机。微积分计算的严密性经常受到人们的批评，这迫切需要数学理论的澄清。19世纪，由于分析的严格性和函数论的发展，数学家们在研究无理数理论和间断函数理论时，需要了解无穷集合的性质。理解“无限”和深化“无限”已经成为一种迫切的需要。

时代呼唤天才。这时，德国数学家康托独自拿起了无止境挑战的旗帜。他自己创造了集合论和超贫数论，打开了上帝封闭的智慧之门。几千年来，无数科学家一直在大门外徘徊，满怀敬畏。康托是唯一一个独自走在惊险刺激的冒险中，试图找到门的钥匙的人。他以非凡的智慧完成了这一伟大壮举，让人们得以一窥连接无限世界的大门内无与伦比的辉煌宝藏。为了掌握和认识无限集合，康托创造性地将一对一对应和对角化方法应用到集合论的基础研究中。正是由于康托的努力，数学中的无限面纱终于被揭开，围绕它的无尽迷雾终于消散了。他对无限的新观点将人们对无限的理解提高到了前所未有的水平。

奥尔加·康托(Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.1918.1.6)德国数学家，集合论创始人。(图片来源:百度百科)

第二次数学危机最终因为康托的工作而得以解决。自康托以来，集合论已成为数学中最基本、最重要的理论分支之一。

出乎意料的是，从表面上看，康托的集合论为数学建立了一个牢不可破的公理体系。当大楼接近完工时，情况又发生了变化。第三次数学危机出乎意料地到来了。

英国数学家罗素彻底粉碎了数学家的梦想。1902年，他在康托的一般集合论的边缘发现了集合论的一个悖论。罗素悖论有许多流行的版本，其中最著名的是1919年罗素提出的理发师悖论:“村子里有一个理发师。他给自己定了一个规则:“他给所有不理发的人理发，只给这样的人。”。那么，这个理发师应该理发吗？”。无论如何回答这个问题，都会导致矛盾。这个问题本身似乎有不可调和的矛盾。正是因为这种奇怪的逻辑，罗素推翻了整个数学大厦的基础。当时，绝对严谨和完美的数学出现了看似不可弥补的漏洞。就像非欧洲几何的惊人发现一样，持续了2000多年的欧几里德公理可能在一夜之间被推翻，人们再次陷入巨大恐慌。

伯特兰·恒慕义·罗素(1871970)

从那以后，数学家们一直在积极寻找解决危机的方法。数学是最严谨的科学，但在集合论中有一个如此明显和根本的矛盾。人们开始谨慎地选择数学公理，以避免产生罗素悖论的思维怪物，从而重建一个精确而又美观的数学系统。德国数学家策梅洛首先提出了七条公理，并建立了一个没有悖论的集合论。另一位德国数学家弗兰克尔在泽尔梅洛的基础上进行了改进，最终形成了一个没有矛盾的集合论公理系统(即所谓的ZF公理系统)。由这七条公理建立的集合论最终成功地避免了罗素悖论，从而大大缓解了第三次数学危机。

策梅洛(策梅洛，1871953)德国数学家。(图片来源:百度图片)

1917年，希尔伯特提出了一套数学程序。他希望找到一个公理系统，能够消除悖论，并且能够证明所有可以在任何形式系统中表达的没有矛盾的陈述都可以被证明或者被证伪。在这个系统中，将不再有像罗素悖论那样奇怪的思维循环。

戴维·希尔伯特(戴维·希尔伯特，1862 ~ 1943)，德国著名数学家。(图片来源:百度图片)

然而，希尔伯特的宏伟计划很快被推翻了。1931年，奥地利数学家哥德尔指出，在任何兼容的形式数学理论中，只要它能定义自然数的概念，就能在其中找到一个命题。在这个系统中，它不能被证明是真的或假的。一般来说，任何数学公理系统都不是“完美的”。任何数学公理系统都需要人为地从外部世界注入新的公理，使其日益完善，但它不能完全和自动地避免矛盾。哥德尔证明不完全定理的主要思想、罗素悖论方法和康托对角法则是一脉相承的。

库尔特德尔(1906年4月28日-1978年1月14日)

虽然集合论中有矛盾，但大多数矛盾是可以避免的。然而，哥德尔不完全定理表明数学的真理不是绝对可证明的。如果我们想证明数学理论的兼容性或完整性，我们必须依靠数学理论以外的论据，也就是说，我们需要一个更大的系统来证明理论本身是真实的。尽管悖论可以被消除，矛盾可以被解决，数学的确定性却逐渐丧失。第三次数学危机伴随着这种不确定性，并以更深刻的形式延续至今。

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无限的世界一直被视为上帝布满灰尘的大门。康托打开了潘多拉的盒子，并为此付出了极其沉重的代价。他的成就遭到了当代代数大师的无情嘲笑。以康托的导师克罗内克为首的数学家组成了一个反康托联盟，在科学和精神上羞辱他。备受打击的康托最终崩溃了，遭受了一段时间的精神分裂症，并最终于1918年在德国一家精神病医院去世。

令康托惊讶的是，他创立的无限集合论成为第三次数学危机的导火索，也从根本上改革了数学的结构，促进了许多新的数学分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑学、群论和泛函分析等理论的基础，同时也给逻辑学和哲学带来了深远的影响。他在研究无限集合时发明的对角线法为后来的科学家提供了非常重要的灵感来源。20世纪无数重要的理论成果都得益于此，数学和哲学也呈现出新的面貌。例如，图灵停止问题和哥德尔不完全定理是这种方法的不同推广。在这些思想成果的汇聚下，今天的信息文明，尤其是计算机的发明，终于被提出来了。

结束语

今天，我们已经知道，在数学王国里有无穷无尽的宝藏和果实供后世的战士挖掘和收获。完美的数学并不存在。人们不必为它的缺陷而悲伤，而是应该为它无限的可能性而欢欣鼓舞。历史的车轮总是向前移动，数学的未来是光明的。与此同时，世界上仍有许多问题无法用数学来解决。这样的问题比数学能解决的还要多。这个世界，在最理性的层面上，展示了它迷人而无限的魅力。人们最终会意识到自己的渺小和真理星空的浩瀚，从而永远保持谦逊和谨慎。

资料来源:美国航天局

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