形成有影响的中国学派

江泽涵1902年10月6日出生于安徽景德镇。父亲蒋小时候当过学徒，后来经商。胡妈妈。这个家庭有一个小家庭供他们的孩子学习。江泽涵的家乡江村是一个偏远的山村。童年时，他去了一所私立学校，然后去了一所乡村小学。他渴望学习，学习成绩优秀。1919年初，他的姐夫兼学者胡适回国探亲。他和胡适来到北方学习。那年夏天，他被天津南开中学二年级录取，只用了三年时间就完成了中学的全部课程。1922年，江泽涵进入南开大学数学系，开始了他漫长的数学生涯。在南开大学，他遇到了中国现代数学的先驱、数学家和教育家姜立夫教授，并向姜立夫先生学习。1926年大学毕业后，姜立夫带他去厦门大学数学系当助教。

在姜立夫的鼓励和督促下，江泽涵于1927年夏天参加了清华大学赴美国留学的专科生的考试，获得了当年唯一一个学习数学的地方，并于当年赴美国哈佛大学数学系攻读博士学位。他努力学习，次年获得哈佛研究院数学系“约翰·哈佛学者”荣誉称号。他的博士论文导师是数学家莫尔斯。那时，莫尔斯的临界点理论刚刚出现。这一理论深刻揭示了拓扑学在分析中的重要作用，并使江泽涵对拓扑学产生了浓厚的兴趣。从那时起，他致力于这个新课题。1930年，他获得了哈佛大学的博士学位，然后去了普林斯顿大学数学系为莱夫谢茨做研究助理。他和这位拓扑学大师一起研究不动点理论。

在几年的留学生涯中，江泽涵从两位数学大师那里学到了最先进的数学理论。1931年，由姜立夫先生推荐的北京大学科学学院新任院长刘树琪先生，邀请江泽涵到北京大学任教。江泽涵认为这是实现自己抱负的机会。当时，莱夫谢茨也劝他留下来继续做研究助理，但他决定以姜立夫先生为榜样，拒绝莱夫谢茨留任。他对他说，“现在国家需要我回去教书，我不能再呆下去了。”那年夏天，他回到中国，成为北京大学的数学教授。

这是江泽涵第一次独立完成教学工作并承担主要教学任务。他致力于教学。自1934年以来，他一直是数学系的系主任。1936年，他第二次去美国，在普林斯顿高等研究院学习了一年。当他1937年回到中国时，抗日战争已经爆发了。北京大学迁至昆明，与清华大学、南开大学组成西南联合大学。江泽涵也举家迁往昆明，在西南联合大学数学系任教，并担任西南联合大学数学系系主任。1941年，*研究院为数学研究所设立了一个预备系，附属于西南联合大学的校园。江泽涵被聘为研究员。

1946年夏天，江泽涵随北京大学迁回北平。当时，北京大学理学院院长饶玉泰教授出国访问，江泽涵担任代理院长一年。不久，他也被教育部选中出国留学。这个计划是去普林斯顿高等研究院。在1947年夏天离开之前，在姜立夫和陈省身的劝说下，他转到苏黎士高级技术学院，与代数拓扑学家霍普夫教授一起学习了两年。1949年，人民解放事业的迅速发展使江泽涵在国外非常快乐。他克服了许多困难，于八月八日回到解放后的北平。

*成立后，江泽涵继续在北京大学教书。1952年，北京大学、清华大学和燕京大学三个系合并成北京大学数学力学系，清华大学的段学富，三位老系主任中最年轻的一位，担任新主任。

江泽涵是中国数学学会的创始人之一。自1935年该协会成立以来，他一直担任副主席。*成立后，他仍然担任副主席，直到1983年被替换为名誉主席。他自1962年以来一直担任北京数学学会主席，自1981年以来一直担任名誉主席。*成立之初，他担任中国科学院数学研究所筹备部副主任，为北京大学数学系与中国科学院数学研究所的密切合作和相互支持奠定了基础。自1955年以来，他一直是中国科学院数学与科学系的成员。

江泽涵是第三届至第六届*协商会议的成员。他于1952年加入中国*同盟，是该同盟*委员会的成员。

拓扑:哥尼斯堡的第七座桥问题

江泽涵是中国代数拓扑学的先驱。他在代数拓扑发展的早期阶段就开始了他的研究。当时，虽然莫尔斯理论和其他重要成果已经出现，但许多重要而有趣的问题仍有待研究，拓扑学在分析科学中的应用也有待深化。江泽涵研究了代数拓扑的许多重要课题，并对莫尔斯临界点理论、重叠空间、纤维束和不动点理论做出了贡献。

江泽涵开创了临界点理论的研究。在他的博士论文和随后的研究工作中，他将莫尔斯的临界点理论直接应用于分析，并获得了许多有趣的调和函数的结果。如果他证明在没有退化临界点的三维空间中，S粒子的牛顿势函数至少存在S-1临界点，而S粒子的总质量不为零；他系统地研究了在总质量为正、负和零的各种条件下，各种分布类型的牛顿函数的临界点的构成与定义区域的拓扑特征之间的关系。经典分析中有一个定理，如果r是平面上简单连通的带边区域，则r上的格林函数在r上没有临界点。江泽涵用莫尔斯理论研究了多重连通情况和三维情况。对于一个与球体同胚的区域，他证明了以内部点为极点的格林函数在其内部有一个临界点。对于平面上具有光滑边界的M-连通区域R，他证明了R上以任意内点为极点的格林函数的临界点的重数之和等于M-1。

在抗日战争到20世纪50年代，江泽涵的主要工作是在重叠空间和纤维束。他研究了不可定向流形的可定向两片重叠空间，证明了重叠空间中存在周期为2且无不动点的反可定向同胚。他计算了n维球的有向和无向线性素流形的同调群。我们还计算了学生的上同调和球面上其他纤维束的上同调群。

江泽涵最重要的工作是对不动点理论的研究。不动点理论是20世纪数学发展的主要课题之一。早在20世纪30年代初，他就跟随莱夫谢茨研究这个课题。当时，莱夫谢茨发表了他的结果，并给出了一种通过空间和地图的拓扑性质来判断不动点存在的方法。不久前，j .尼尔森提出了不动点类的概念，并用它来估计亏格大于1的可定向闭曲面上同胚的不动点个数。尼尔森的工作领先莱夫谢茨一步，但他使用了特殊的双曲几何工具，所以他的方法不能应用于普通多面体。江泽涵用重叠空间代替双曲几何并取得了成功，为尼尔森理论的普及奠定了基础。20世纪60年代初，江泽涵再次倡导在中国研究不动点理论。当时，虽然尼尔森理论已经扩展到紧多面体，同胚映射也已经扩展到任何自映射，但是由于尼尔森计算的困难和其他障碍，国际上对尼尔森理论的研究已经停滞了很多年。江泽涵和他的学生江伯举、石根华在许多领域进行研究。他首先与江伯举提出了自映射的同伦概念，并证明了尼尔森数具有同伦不变性。在他的指导下，江伯举和石根华在尼尔森数的计算和实现上取得了重大突破。他们的工作打破了过去50年来国际上对此课题研究的长期停滞，从而获得了很高的国际评价，被称为“不动点理论的最新国际成果”。我的同事称他们为拓扑学中的新“中国学校”。美国数学家布朗在他的书《莱夫谢茨不动点定理》的两章中介绍了他们的结果。1978年，江泽涵与蒋伯举、石根华一起，因在定点理论方面的杰出工作获得中国科学大会奖。

20世纪70年代初，在布朗专著的启发下，江泽涵决心用自己的观点和方法来总结中国数学家的工作，实现自己的夙愿。在“*”后期的艰难环境中，经过几年的艰苦努力，他写了一本专门的书《定点理论》，于1979年出版。这本书着重于几何直觉，从特殊情况引出一般理论，并从浅到深展示了不动点理论的核心问题。它成功地实现了江泽涵的初衷:为具有初步拓扑基础的年轻读者学习不动点理论铺平了道路，从而推动了中国不动点理论的研究。后来，江泽涵将这本书翻译成英文，并于1989年由科学出版社和德国斯普林格出版社联合出版。