数学并非真实存在，而是虚构的数字游戏？
作者:切西·休斯顿-爱德华兹，欧林工程学院数学助理教授
傅·和龚华杰
审校:吴建平，教授，扬州大学物理科学与技术学院
当我告诉别人我是一名数学家时，一个最令人惊讶的回答是:“我真的很喜欢数学课，因为这里的一切不是对就是错，没有歧义或不确定性。”对此，我总是支支吾吾地回应。事实上，不是每个人都喜欢数学，我不想挫伤人们对数学的热情。事实上，数学充满了不确定性，但数学本身很好地隐藏了这种不确定性。
我当然理解数学中没有不确定性的观点。例如，如果老师问你7是否是质数，答案必须是“是”。因为根据定义，质数是一个大于1的整数，只能被它自己和1、2、3、5、7、11、13等整除。都是质数，7是非常确定的。
在过去的几千年里，在世界的任何地方，任何时候，任何数学老师都必须承认“7是一个质数”的说法是正确的，不会与你的答案相交叉。然而，很少有其他学科能像数学一样达成如此令人难以置信的共识。然而，如果你问100个数学家什么可以用来解释这些数学命题的本质，你可能会得到100个不同的答案。数字7实际上可能只是作为一个抽象的数学对象而存在，素数属性是该对象的一个特征。或者，素数可能是数学家精心设计的游戏。换句话说，数学家可以就一个命题的正确与否达成一致，但他们不能就该命题的本质达成一致。
在某种程度上，这些争论是简单的哲学问题:数学是人类发现的客观规律，还是依赖于主观愿望的创造？也许7是一个独立于我们的真实物体，但它的本质是数学家仍在探索的东西。也许它是人们想象中的一个虚构的东西，它的定义和属性是灵活多变的。事实上，数学研究的这种行为激发了一种类似于哲学二元论的观点，在这种观点中，数学既是人类的发明，也是人类的发现。
在我看来，这一切有点像即兴表演。数学家构建了一个数学背景阶段，由一些字符或对象和一些交互规则组成，然后观察这些数学对象在这个背景下是如何发展和进化的。结果是，这些角色完全独立于数学家的意图，并迅速发展出令人惊讶的特征和关系。然而，不管谁导演这部戏，结局总是一样的。正是这种结果的不可避免性赋予了数学强大的凝聚力。关于数学对象的性质和数学知识的获取的问题仍然是隐藏和未被发现的。
发明
我们如何判断数学命题是否正确？与通常通过观察自然现象来推断自然基本原理的自然科学家不同，数学家严格地从数学对象的规则中推断出结论。这个演绎过程被称为证明。这个过程通常从一个相对简单的前提开始，推导出复杂的结论。乍一看，数学证明的过程似乎是数学家达成共识的关键因素。
然而，这种证明只赋予数学以建立在一定条件上的真理，也就是说，结论的真实性取决于前提假设的真实性。有一种普遍的观点认为，数学家之间的共识是由基于证明的论证结构产生的。事实证明，基于一些核心假设，其他结论依赖于这些假设。这就提出了一个问题:这些核心假设和想法来自哪里？
事实上，数学最重要的东西通常是它的有用性。例如，我们需要数字，这样我们就可以计算奶牛的数量和测量田地的面积。有时最初的假设是美学上的。例如，我们可以发明一种新的算术系统，其中负数乘以负数就是负数。然而，在这个系统中，那些直观和理想的数轴属性将会消失。数学家对基本对象(如负数)及其性质(如相乘的结果)的判断需要与更大的数学框架相一致。因此，数学家在证明一个新的定理之前，需要观察这个戏剧的发展。只有这样，数学家才能知道要证明什么:什么是真正不变和不可避免的结论。
因此，数学的发展有三个阶段:发明、发现和证明。
数学中的角色几乎总是由非常简单的对象组成。例如，圆被定义为与中心点等距的一组点。因此，圆的定义取决于一个点的定义(这是一个非常简单的对象类型)和两点之间的距离。同样，重复加法的过程就是乘法，一个数的乘法本身就是乘法。因此，权力的属性继承了乘法的属性。另一方面，我们也可以通过研究更简单定义的对象来学习更复杂的数学对象。这导致一些数学家和哲学家把数学想象成一个倒金字塔，其中许多是复杂的物体和思想，它们来自位于狭窄塔楼底部的简单概念。
在19世纪末20世纪初，一群数学家和哲学家开始思考到底是什么支撑着这个沉重的数学倒金字塔。他们非常担心数学没有基础——没有什么能支持1+1=2的数学结论的真实性。
一些数学家希望找到一套相对简单的公理，所有的数学真理都可以从中推导出来。然而，美国数学家库尔特·哥德尔在20世纪30年代的工作经常被用来证明这个公理系统是不可能的。首先，哥德尔证明了任何合理的公理系统都是不完整的。这个系统的数学表述是无法证明或反驳的。哥德尔关于数学不完全性的定理给数学带来了毁灭性的打击。最初，每个人都认为数学公理的基本体系应该是一致的，没有可以被证明和反驳的陈述。(在数学中，我们不能证明7是质数，同时也不是质数。这种数学是不令人满意的)。更重要的是，前数学家认为数学系统应该能够证明自己的一致性。但是哥德尔定理指出这是不可能的。
寻找数学基础的过程确实导致了一个基本公理系统的发现，这就是所谓的策梅洛-弗兰克尔集合论，从中可以得到最有趣的数学。基于集合论，不仅数学变得非常简单明了，而且大多数数学知识都有坚实的基础。
在整个20世纪，数学家们争论着是否应该扩展Zemello-Fraimon集合论，即所谓的选择公理:如果你有无数包含对象的集合，你可以从每个集合中选择一个对象来形成一个新的集合。例如，有一排桶，每个桶有一组球和一个空桶。从一排的每个桶中，你可以选择一个球并把它放入一个空桶中。公理选择允许你使用无数排桶来操作。这种方法不仅直观、吸引人，而且可以用来证明一些有用的数学表达式，还隐含着一些奇怪的东西，如巴拿赫-塔尔斯基悖论，它表明你可以把一个实心球分成几个部分，然后把这些部分重新组合成两个新的实心球，每个实心球的大小与原来的球一样。换句话说，你可以得到两个球。选择公理包含许多重要的表达，但它也带来了额外的问题，包括一些奇怪的坏表达。但是没有选择公理，数学似乎缺少一些关键的基本内容。
大多数现代数学使用一套标准的定义和惯例，这些定义和惯例随着时间的推移而演变。例如，数学家曾经认为1是质数，但现在不是了。然而，他们仍在争论0是否应该被理解为自然数(有时称为计数数，自然数被定义为0，1，2，3...或者1，2，3...取决于你问谁)。哪些字符或发明可以成为数学经典的一部分通常取决于结果有多有趣，而这一观察可能需要数年时间。从这个意义上说，数学知识是积累起来的。
发现
如前所述，数学家最初考虑在特定的应用条件下定义数学对象和公理。然而，随着时间的推移，数学已经到了第二个阶段——发现。例如，质数是乘法的基石，也是最小乘法的单位。如果一个数不能写成两个较小数的乘积，那么这个数就是质数。所有非质数(复合数)都可以通过乘以一组唯一质数得到。
1742年，德国数学家克里斯蒂安·歌德巴赫假设每一个大于2的偶数都是两个素数的和。如果你选择任何一个偶数，哥德巴赫猜想指出，你可以通过加两个质数找到这个偶数。如果你选择8，两个质数是3和5；如果你选择42，它可以是13+29。哥德巴赫的猜想令人惊讶，因为尽管质数最初被设计成乘法，但它表明质数和偶数之间有着不可思议的关系。
大量证据表明哥德巴赫的猜想是正确的。在接下来的300年里，计算机数值计算证实了这个猜想对所有小于4×1018的偶数都是正确的。然而，这一证据不足以让数学家宣称哥德巴赫猜想是正确的，因为不管计算机检查多少个偶数，都有无穷多个偶数，所以角落里可能总有反例——一个不是两个质数之和的偶数。
想象一下，每当计算机发现两个质数之和是一个特定的偶数，它就会记录这个偶数。到目前为止，这是一个非常长的数字列表。你可以用它作为令人信服的理由来说服人们哥德巴赫的猜想是正确的。然而，有人总是能想到一个不在列表上的偶数，并问你如何知道哥德巴赫猜想对那个数字仍然有效。并不是所有的(无穷多个)偶数都会出现在列表中，因此，只有从基本原理出发，通过逻辑论证证明哥德巴赫猜想对任何偶数都是有效的，才足以把这个猜想提升为一个定理。然而，直到今天，还没有人能够提供这样的证据。
哥德巴赫猜想说明了数学发现阶段和证明阶段之间的重要区别。在发现阶段，人们寻求数学事实和数学现象，而数学的本质需要坚实的证明。
数学家需要整理数学发现并决定证明什么，但它们也可能是欺骗性的。例如，让我们建立一系列数字:121，1211，12111，121111，121111，等等。我们做如下猜想:序列中的所有数字都不是质数。为这个猜想提供证据很容易。可以看出，121不是质数，因为121 = 11x11。类似地，1211、12111和121111不是质数。这种模式可以持续一段时间，但后来突然出了问题。该序列中的第136个数字(即12111...111，136“1”后跟“2”)是质数。
数学的发现阶段仍然极其重要。例如，它可以揭示哥德巴赫猜想给出的素数之间的隐藏联系。在发现这种深刻的联系之前，数学家通常研究数学的两个完全不同的分支。一个相对简单的例子是欧拉恒等式，eiπ+ 1 = 0，它通过数E(自然对数的底)将几何常数π与数I(代数定义为-1的平方根)联系起来。这些惊人的发现是数学美和好奇心的一部分。他们似乎指向一个数学家刚刚开始理解的更深层次的基础设施。
从这个意义上说，数学可以被发明和发现。研究对象被精确地定义，但是他们有他们自己的生活，并且将揭示意想不到的复杂性。因此，数学对象既可以被视为实际存在，也可以被视为人工创造。正如一位哲学家所写，“二元性对数学家的工作方式没有影响。”
现实还是幻觉
数学实在论似乎是发现阶段的哲学观点:数学研究的对象，如圆和素数、矩阵和流形，是真实的，独立于人类思维而存在。就像天文学家探索遥远的行星或者古生物学家研究恐龙一样，数学家正在收集对真实实体的洞察。例如，证明哥德巴赫猜想就是通过加法来证明偶数和素数之间联系的特殊性质，就像古生物学家可能通过两个物种的解剖结构之间的相关性来证明一种恐龙起源于另一种恐龙一样。
现实主义的各种表现形式，如柏拉图主义，可以很容易地理解数学的普遍性和实用性。每个数学对象都有一个属性。例如，7是一个质数，就像恐龙有飞行的属性一样。一个数学定理，比如两个偶数之和是偶数——这是正确的。因为偶数确实存在，而且它们之间有特定的关系。这解释了为什么跨越时间、地理和文化差异的人们普遍认同这些数学事实。
但是有些人反对现实主义。他们相信，如果数学对象是真实的，那么它们的本性一定是非常独特的。首先，数学对象非常抽象，所以你不能真正与它们互动。这是一个问题，因为恐龙可以被分解成可以看见和触摸的骨头。行星也可以从恒星前面经过，并被天文学家观察到。然而，数学圆是一个抽象的物体，不受空间和时间的限制。事实上，π是圆周与圆直径的比值，与苏打水或甜甜圈无关。它指向一个数学上抽象的圆，在那里距离是精确的，圆上的点是无穷小的。这样一个完美的圆在现实生活中似乎是无法实现的。所以，如果没有特殊的第六感，我们怎么能理解关于圆的事实呢？
这就是现实主义的困难所在——它无法解释我们如何知道抽象数学对象的本质。所有这些都可能导致数学家从现实的立场上退缩。反实在论将数学定义为一种纯粹的思维练习形式或一部完整的小说，可以轻松避免认识论问题。
形式主义是一种反现实的形式和哲学观点。它主张数学就像一场游戏，数学家只是在玩游戏规则——7是一个质数，好像骑士是唯一能以L形式移动的棋子。另一种哲学观点是虚构主义，认为数学对象是虚构的——说7是质数就像说独角兽是白色的。数学在其想象的宇宙中有意义，但在它之外没有真正的意义。
然而，如果数学只是发明出来的，它怎么可能成为科学的一个重要部分呢？从量子力学到生态模型，数学是一种广泛而精确的科学工具。科学家不期望基本粒子按照国际象棋规则运动。自然科学描述的负担完全落在数学上，这与游戏或小说完全不同。
最后，这些问题不影响数学的实际应用。数学家可以*选择他们对职业的解释。在《数学经验》中，菲利普·戴维斯和鲁本·赫什有一句名言:“一个典型的职业数学家在工作日是柏拉图主义者，在周末是形式主义者。”