《啊哈!灵机一动》－关于地毯的困惑

奇妙的定理

特克先生是这样想的:我知道萨普先生是一位优秀的几何学家。他必须有一个公式，只有知道外圆与内圆相切的弦长，才能得到环的面积。另外，在弦长为100米的情况下，内外圆的半径可以任意调整。

泰克先生继续推测，当内圆的半径逐渐减小并最终变为零时，圆将演变成一个直径为织布机长弦的圆。圆的面积是502π(约7854m2)。如果计算环面积的公式确实存在，那么圆的面积必须是环的面积。

广义地说，任何圆的面积都必须等于圆的面积，圆的直径是圆中能画出的最长的线段。这个奇妙的定理很容易被圆面积公式证明。

将这个问题扩展到三维空间需要具有圆形横截面的圆管的体积。给定具有横截面的圆环中最长线段的长度，如图25所示，然后我们可以用这个长度来计算圆环的面积，用这个面积乘以圆管的高度来计算圆管的体积。

图25

下面的问题似乎与圆形问题没有太多的共同点，但结论是一样的。一个球，钻一个6厘米长的圆柱孔穿过球的中心，如下图所示，剩余的体积是多少？没有其他已知数据，似乎无法确定体积。然而，这个问题的解决不需要计算:球体其余部分的体积总是等于某个球体的体积；这个球的直径是穿过球中心的洞的长度。

在这里，我们仍然遵循泰克先生的想法，并假设有一个公式，可以解决这个问题，只有根据6厘米的长度。然后，可以立即得到答案:如果有一个明确的答案，那么钻孔后剩余部分的体积必须与孔的直径无关。因此，我们把洞的直径减小到零，洞变成一条直线，剩下的基本上是一个直径为6厘米的完整球体，所以答案是