数学里的“不合逻辑”

“不合逻辑”是各种数学悖论的根源。你能想到一个与其否定形式结合在一起的命题吗？难以置信的是，这样一个命题真的存在。“这句话是七句话”是一个如此奇怪的命题。它的否定形式是“这个句子不是一个七句句子”，同样有效。

你肯定会喊“高跟鞋”。命题的真实性与命题本身的形式有关。这样的命题是数学命题吗？是的，这些涉及自身的命题被称为“自我参照命题”，它们的出现会引起许多令人头痛的问题。从利亚悖论到罗素的悖论，各种逻辑悖论的根源几乎都是自我参照的。数理逻辑中存在许多不合逻辑之处，直接引发了数学史上的第三次数学危机。

欧拉的不合逻辑的证明

在数学史上，许多美丽的定理最初被证明是错误的。最典型的例子可能是1735年伟大数学家欧拉的“证明”。他仔细研究了所有完全平方数的倒数和的极限值，并给出了一个美丽的答案:这是一个意想不到的答案，在与几何无关的情况下，圆周率毫无预兆地出现了。欧拉的证明采用了一种不同的方法，采用了一种常人无法想象的奇妙方法。根据方程sin(x)/x=0的解，他对sin(x)/x的级数展开式进行了因式分解，然后用比较系数法神奇地得到了问题的答案。然而，利用方程解的因式分解方法仅适用于有限多项式。在当时的数学背景下，这种方法不能直接应用于无穷级数。然而，欧拉利用了这个松散的类比，得到了正确的结果。