牛顿与莱布尼兹创立微积分之解析

如今，微积分已经成为一种基本的数学工具，并广泛应用于自然科学的各个领域。恩格斯说:“在所有的理论成果中，17世纪下半叶微积分的发明并未被视为人类精神的最高胜利。如果我们在某处看到人类精神的纯粹而独特的成就，它就在这里。”《[1》(第244页)本文试图从微积分的历史背景和哲学来分析牛顿和莱布尼茨，这被认为是人类精神的最高胜利。首先，牛顿的时代背景和哲学思想“牛顿(IsaacNewton，1642-1727)于1642年出生于英国。1661年，他进入英国剑桥大学。1665年，当瘟疫在伦敦流行的时候，牛顿回到乡下整天思考各种各样的问题。他利用多年积累的智慧和知识，发明了流动微积分、万有引力分析和光。”[2》(第155页)1665年5月20日，牛顿的手稿开始记录“流量计数”。“流数介绍”和“用运动解决问题”等论文介绍了流数(微分)和积分，以及求解流数方程的方法和积分表。1669年，牛顿向他的朋友们分发了一本名为“用无限多项式方程分析”的小册子。在这里，牛顿不仅给出了求一个变量到另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且证明了面积可以通过求变化率的逆过程得到。因为面积也用无穷小面积的总和来表示。所以牛顿证明了这样的和可以通过求变化率的逆过程得到(更准确地说，和的极限可以通过逆微分得到)。这个事实是我们现在讨论的微积分的基本定理。这里，“牛顿使用无穷小方法，并把变量的无穷小增量称为“瞬时”。瞬时是一个无穷小的量，一个不可公度的量，或一个无穷小的元素。牛顿通过放弃“瞬时”来获得变化率。《[3》(第199页)1671年牛顿把他在微积分方面的研究成果汇编成《流数法和无穷级数》(1736年)。在这里，他认为变量是由连续运动产生的，他把变量叫做流动，而变量的变化率叫做流动数。牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:知道两个流之间的关系，找到它们的流数之间的关系，以及它的逆问题。《流数法与无穷级数》是一本比较完整的微积分书。本书的后半部分通过20个问题广泛介绍了无穷级数法的应用。1676年，牛顿写了《寻找曲线边缘的区域》(1704)，在那里牛顿的微积分思想发生了巨大的变化。他放弃了无穷小或无穷小，采用了初始比和最终比的方法。牛顿于1687年发表了他的里程碑式的科学杰作《自然哲学的数学原理》，其中流量计数(微积分)是三大发现之一。正如爱因斯坦所说:“牛顿，你所发现的道路是你那个时代最有思维能力和创造力的人所发现的唯一道路。即使在今天，你创造的概念仍然指导着我们的物理思想。《[4》(第192页)牛顿生活在英国一个变革的时代，当时英国内战爆发，资产阶级和贵族阶级妥协，使得英国的资产阶级革命明显不完整。那时，英国资产阶级正在证明现存剥削阶级所有上层建筑的永恒存在。因此，绝对思维成为主导思维，这也影响了当时的自然科学家使形而上学的思维方法绝对化。牛顿的思想也受到英国资产阶级革命的不彻底性的影响，所以牛顿常常不能从自然本身或事物本身中找到根源，而是依靠外部动力。牛顿在30岁之前就发现了微积分，并建立了一个经典的机械系统，而他的余生在自然科学研究方面几乎什么也没做。这是因为在资本主义产生和形成的时期，资产阶级曾经对宗教神学发动过攻击，帮助科学从神学中解放出来。但是，当资产阶级的地位得到巩固，阶级斗争逐渐加剧时，资产阶级逐渐衰落，他们抓住各种宗教信仰作为奴役人民的意识形态武器。牛顿深受其影响。在他生命的前半段，由于他自发的唯物主义思想倾向，他取得了巨大的成就，而在后半段，他完全沉溺于神学研究。牛顿继承了培根的经验主义传统，特别注意实验和归纳推理的作用。他曾经断言，自然科学只能根据经验事实来解释世界。在那个时候，它通过鼓吹空谈和错误地宣称神的意志来扭曲自然，在打击经院哲学方面发挥了积极的作用。然而，“牛顿严格坚持经验事实，片面强调归纳的重要性。只有大量的感性材料，都停留在事物的现象上，仅仅依靠归纳方法是无法得到系统的、普遍的理性认识的。在分析与综合、演绎与归纳的问题上，形而上学使牛顿陷入了矛盾。“[5”(临123)二。莱布尼茨的背景和哲学“戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(1646-1716)出生在德国。1672年，他去了巴黎，在那里他接触了一些著名的数学家，如惠更斯，并把他带进了数学领域，开始了他在微积分方面的创造性工作。《[2》(第165页)莱布尼茨在1684年发表了数学史上第一份正式的微积分文件，“一种寻找极限值和切线的新方法”。本文是他自1673年以来微积分研究的总结和成果，其中定义了微分，广泛使用微分符号dx和dy，并给出了和、差、积、商和幂的微分规则。同时，还包括微分法在求切线、最大值、最小值和拐点中的应用。两年后，另一篇题为《深奥的几何与不变量及其无限分析》的积分论文发表，其中首次使用了积分符号“⊙”，并对积分(或求积)问题与微分切线问题之间的互逆问题进行了初步探讨。今天众所周知的牛顿-莱布尼茨公式为我们勾画了微积分的基本雏形和发展蓝图。“牛顿从运动学的角度建立了微积分，而莱布尼茨从几何学的角度考虑了它。所创造的微积分符号远远优于牛顿符号，有效地促进了微积分的发展。”[6》(第120页)牛顿发现微积分(1665-1666)至少比莱布尼茨早9年，但莱布尼茨比牛顿早3年发表他的微积分文章。根据莱布尼茨自己提供的证据，他在1674年形成了分化的思想和方法。如果牛顿主要从运动学的角度建立微积分，莱布尼茨则从哲学和几何学的角度考虑它，特别是与巴罗的“微分三角形”密切相关，莱布尼茨称之为“特征三角形”。巴罗的微分三角形极大地启发了莱布尼茨。他对微分三角形的研究使他认识到求切线和积的问题是一对互反问题。莱布尼茨第一个表达了微分和积分之间的相互关系。莱布尼茨的许多研究成果和思想发展包含在自1673年以来写的数百页笔记中，但从未出版。大约在1673年，他认识到寻找曲线切线的正反问题的重要性。他完全相信逆方法相当于通过求和找到面积和体积。1684年，莱布尼茨发表了他的第一篇关于微积分的论文，“一种寻找最大值、最小值和切线的新方法，它也适用于分数或无理数，以及这种新方法的奇妙计算”。他对以前的研究做了初步的整理，描述了微分学的基本原理，认为函数的无穷小增量是自变量的无穷小变化的结果，并把这个函数称为微分增量，用字母d表示。从1675年到1676年，他从曲线边的面积得到了积分的概念，并给出了微积分的基本定理∫baf(x)dx=f(b)-f(a)。1686年，莱布尼茨发表了整合理论论文《势几何和分析是不可分割和无限的》。1693年，他给出了上述定理的证明。这些都发表在《教师杂志》上。微分与积分的统一是微积分理论建立的重要标志。莱布尼茨出生在“三十年战争”结束之前，这场战争是由德国路德教和天主教的反对引起的。为了改变宗教纷争的局面，莱布尼茨渴望找到一种既适用于天主教又适用于路德教的关于实体的新理论，从而成为两个教会联合的哲学基础。虽然莱布尼茨的意图是不可能实现的，但他后来提出了一种不同于笛卡尔的实体理论——君主主义。“单子论是莱布尼茨哲学的核心内容。莱布尼茨认为一切都是由单子的精神实体组成的，它既不是物质的，也不是某种性质的。它是精神的，莱布尼茨把它比作灵魂。只有精神单子才是真正的实体。莱布尼茨从单子是不可分的，即没有部分“纯”实体的观点出发，推导出单子的一系列特征:如果单子没有部分，它们就不能通过自然方式组合部分而产生，或者通过分解部分而毁灭，所以它们的出生和死亡只能来自上帝的突然创造或毁灭；如果列表中没有任何部分，人们无法想象会有什么东西进入其中，从而引起变化。这样，列表就变得独立或完全孤立，列表之间不会有任何真正的交互或影响。列表之间没有数量上的差异，只有质量上的差异。”[7](第85页)总之，莱布尼茨的基本观点是唯心主义和形而上学的。他把宇宙的秩序归因于上帝的预知。他断言许多必要的真理不是来自经验。他认为不仅知识的对象是由精神上的“列表”组成的。此外，知识的主体只能被视为精神实体的“列表”。他把所有的发展和变化归因于上帝的“宿命”，实际上否认了真正的发展。这是他观点的负面。但另一方面，莱布尼茨的哲学也有积极的方面。他的哲学包含着丰富的辩证法思想。他肯定实体本身有权力，因此是动态的。本质上，他肯定了物质和运动是不可分割的这一观点。他试图解决“不可分割的点”和“连续性”之间的矛盾。他接触到了个体与整体、间断性与连续性的对立统一，为促进理性与经验的辩证结合做出了一定的贡献。3.牛顿和莱布尼茨创立的微积分的比较牛顿和莱布尼茨用不同的方法创立了微积分。如果牛顿比莱布尼茨更早接近最终结论，那么莱布尼茨比牛顿更早发表自己的结论。尽管牛顿对微积分的应用远远超过了莱布尼茨的工作，在几乎整个18世纪刺激和决定了分析的方向，莱布尼茨成功地建立了一个更方便的符号系统和计算方法。微积分的两位创始人，一位是做事谨慎、治学严谨的英国人，另一位是德国人的哲学思维，热情而大胆。由于阴阳错误的时代背景，牛顿过于追求精确，推迟了他的发现的发表，让莱布尼茨在出版界独占鳌头。牛顿和莱布尼茨不同的哲学观点导致了他们建立微积分的不同方法。牛顿坚持唯物主义的经验主义，特别注意实验和归纳推理。当他研究经典力学定律和万有引力定律时，他遇到了一些无法解决的数学问题，这些问题在16世纪无法用欧几里德几何和代数来解决。因此，牛顿开始研究一种解决曲率、面积、曲线长度、重心、最大值和最小值问题的新方法——流动法。“牛顿的研究采用了初始比较和最终比较的方法。他认为流量是原始量的初始比率或消失量的最终比率。出生数量的初始比率是出生时的比率，消失数量的最终比率是消失时的数量比率。”[4](第180页)这种解释太模糊了，不可能是一个精确的数学概念，它只是一种直观的描述。初始比和最终比的物理原型是初始速度和最终速度的数学抽象。物体位置运动过程中每个瞬间的速度是不言而喻的。牛顿从这一客观事实出发，提出了初始比率和最终比率的直观概念。这样，他给出了极限的观点。莱布尼茨对微积分的创造始于对“切线问题”和“求积问题”的研究。他从微分三角形中认识到，曲线的切线取决于纵坐标和横坐标之差的比值。曲线边图的面积取决于纵坐标之和或横坐标中无限单元之间的无限薄矩形之和。莱布尼茨意识到和与差的运算是可逆的。莱布尼茨用无穷小的思想给出了微积分的基本定理，并把它发展成高阶微分。莱布尼茨的无穷小是分级的，这源于他的一元哲学。”莱布尼茨在单子论中指出，不同的单子有不同程度的感知清晰度，以及从一种感知到另一种感知的过渡和变化。发展是一个由低级到高级的不同层次的序列，由单子组成。[6](第91页)可以说，莱布尼茨的无穷小秩序恰恰对应于他的客观唯心主义哲学体系中的不同层次的一元体系。莱布尼茨的连续性原则成为他在微积分研究过程中的基石，连续性原则根植于他哲学的无限本质。牛顿和莱布尼茨在创立微积分方面有着相同的观点:他们从不同的角度创立了一门新的数学学科，这使得微积分有着广泛的应用，可以应用于一般函数；摆脱过去几何形式的代数方法；两者都研究了微分和反微分之间的相互关系。牛顿和莱布尼茨在微积分的创造上的区别如下:牛顿继承了培根的经验主义，特别喜欢归纳。牛顿的微积分显然带有源自力学的物理模型的痕迹。它表现为机械运动的数学模型。出生量、消失量、瞬时、初始比率和最终比率等基本概念来自机械运动，是机械运动瞬时状态的数学抽象。他创立微积分来解决特殊问题，强调可以推广的具体结果。莱布尼茨强调可以应用于特殊问题的一般方法和算法，以便以统一的方式处理各种问题。莱布尼茨在符号选择上花了很多时间，发明了一套暗示符号系统。他把和的第一个字母S(sum)加长来表示积分，把dx加长来表示x的微分。牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，并关心微积分在物理中的应用。经验、具体和谨慎是他工作的特点，这种限制使他无法充分发挥自己的能力。莱布尼茨关注广义的微积分，并努力创造一个完美的微积分体系。他充满想象力，喜欢推广，大胆而投机，所以他毫不犹豫地宣布了一门新学科的诞生。牛顿和莱布尼茨是他们那个时代的科学巨人。微积分之所以能成为一门独立的学科并给整个自然科学带来革命性的影响，主要取决于牛顿和莱布尼茨的工作。从牛顿和莱布尼茨对微积分的创造中，我们可以看出，当巨人的哲学沉思成为科学结论时，它对科学的发展产生了深远的影响。