数学的伟大转折——笛卡尔创立解析几何

17世纪欧洲科学技术的发展提出了许多用常数数学无法解决的问题。天体运动和物理运动也提出了研究圆锥曲线和其他曲线的运动观点。由于这个原因，人们寻求一种新的方法来解决变量问题，这导致笛卡尔创建了解析几何。解析几何的诞生是数学的一个重大转折点。正如恩格斯所说，“数学的转折点是笛卡尔的变量。有了变量，运动就进入了数学，有了变量，辩证法就进入了数学，有了变量，微分和积分就立刻变得必要了，它们就立刻产生了。"

笛卡尔创立了解析几何(网络图)

坐标的早期概念

在坐标的概念被引入数学之前，人们已经知道并应用了坐标的概念。“井”一词在我国首次使用，是指井周围的土地取自坐标形式。笛卡尔在公元120年左右创立了解析几何

古希腊的托勒密曾经讨论过球体上的纬度和经度，而中国在13世纪和14世纪使用的求解多个高阶方程的“第四纪技术”都是坐标概念的早期例子。未来出现的棋盘、算盘、门牌等实际上是一种坐标系。

托勒密肖像

16世纪末，法国数学家吠陀在代数中首次系统地使用了字母。他研究的大多数代数问题都是为了解决几何问题而提出的。此后，吠陀的学生盖塔拉迪对几何问题的代数解法进行了系统的研究，并分别于1607年和1630年出版了《阿波罗尼斯著作的现代诠释》和《数学的分析与综合》。1631年，英国数学家哈里奥特扩展并系统化了吠陀和葛塔拉迪的思想。所有这些为几何和代数的结合以及形式和数字的结合铺平了道路。

费马坐标法

1629年，法国数学家费马在反思前人的几何研究时提出了一个想法。他认为古人在研究轨迹时有困难。唯一的原因是它们没有给出足够的和一般的轨迹表示。他认为一般来说，只有代数才能用来表达轨迹。在学习了吠陀用代数解决几何问题的方法后，他决定将阿波罗关于圆锥曲线的结果直接翻译成代数形式。

费马的一般方法本质上是坐标法。他考虑了任何一条曲线及其上面k，k点的位置，由字母a和e决定。其中a是从o点到z点的距离，e是从z点到k点的距离。这实际上是我们的现代斜坐标。但是，Y轴没有明确标记，也没有使用负数。他的a和e相当于我们当前的坐标x和y。

费马的肖像

费马通过建立坐标将平面上的点与一对未知数联系起来。然后，在一寸进一条线的想法下，曲线由一个方程表示。他认为未知数A和E实际上是变量，所以连接A和E的方程是不确定的。他用不同的字母代表不同种类的数字，然后写出各种连接A和E的方程，并指出它们所描绘的各种曲线。费尔马断言，如果方程是主要的，它代表一条直线；如果是二次曲线，则表示一条二次曲线，并给出直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线方程。

费马用坐标法把几何曲线和代数方程联系起来，从而把几何和代数联系起来，这接近解析几何的核心思想。他突破了几何研究经典形式的束缚，使几何向前迈进了一大步。

笛卡尔解析几何的诞生

几乎就在费马研究解析几何的时候，法国数学家笛卡尔也在独立研究它。

1596年3月21日，笛卡尔出生在法国土伦的一个贵族家庭。他年轻时失去了母亲，父亲是当地议会的成员，保姆抚养他长大。笛卡尔8岁时进入了卢浮宫学院，这是当时欧洲最著名的公立学校。1612年，笛卡尔进入波尔顿大学学习法律。四年后，笛卡尔以最好的成绩获得了法学博士学位。毕业后，他来到巴黎当律师，在此期间，他溜到郊区一个僻静的住处，学习了两年数学。

1617年，他加入了驻扎在荷兰布雷达镇的奥兰治公爵的军队。1618年11月的一天，笛卡尔看到一个张贴在街头海报上的数学难题。两天后，他发来了正确的答案，并成功地解决了这个问题。这个机会使他决心终生学习数学。

笛卡尔仔细分析了几何和代数的优缺点。他认为古希腊人带给后世的几何方法过于抽象和特殊。欧几里德几何中的每一个证明都需要一种特殊的新方法，这种方法既“笨拙又不必要”，并且使几何“失去了科学的形象”。他还认为，当时使用的代数“完全被定律和公式所控制，变成了一种混乱和晦涩，阻碍了思维”他将寻找另一种新方法来总结这两个学科的优点。

1619年，军队驻扎在多瑙河畔的小镇纽堡。笛卡尔整天沉迷于绘画、计算和思考，探索几何和代数之间的本质联系。各种各样的想法和计算经常让他晚上睡不着。11月10日晚上，他的思维达到了极度兴奋的地步，甚至梦想着如何将代数应用于几何。他后来说:“第二天，我开始理解这个惊人发现的基本原理。我终于发现了难以置信的科学基础。”这是解析几何的开端。

笛卡尔在给定的轴上标记X，在与轴形成固定角度的线上标记Y，并且在X和Y的值满足给定关系的地方做点，这实际上是“坐标”概念的引入。平面的“算术化”是通过坐标来实现的，也就是说，平面上的一个点只由一对数字(x，y)来表示，反之亦然。通过使用坐标方法，平面上的曲线与包含两个未知数的方程相联系。这样，几何问题可以简化为代数问题，几何对象可以用代数方法研究。1619年11月10日应该算作解析几何的第一个诞生日。

笛卡尔和费马的解析几何在坐标观点和用方程表示曲线的方法上基本相同。然而，他们对传统数学的态度是不同的。笛卡尔打破了希腊数学的传统，用代数方法取代了传统的几何方法，这是数学史上的一个重大变化。然而，费马专注于继承希腊思想，认为自己的作品只是对阿波罗作品的重述。

解析几何的完善

当时，大多数数学家都被旧思想所束缚，反对将代数与几何相结合，所以解析几何的思想没有很快被数学家所接受。笛卡尔的几何学在1637年出版后，并没有引起广泛的关注。费马的书直到1679年才出版。

1655年，笛卡尔死后五年，英国数学家沃利斯首次引入负的垂直和水平坐标，将考虑中的曲线范围扩展到整个平面。沃利斯进一步完善了坐标法。他的书《论圆锥曲线》吸引了数学家的注意，并极大地传播了解析几何的思想。

费马和笛卡尔提出的坐标系是不完整的。费马没有指定Y轴，但是笛卡尔只用了一个X轴，并且Y轴是沿着与X轴倾斜的方向画的。

1691年，雅各布·伯努利发明了另一种坐标。他使用一个固定点和从该点发出的光线作为参考，并使用从平面上的一点到该固定点的线的长度和线与参考之间的角度的余弦作为该点的坐标，该点实质上是当前的极坐标。

基于笛卡尔的X轴和Y轴，莱布尼茨在1694年提出并正式使用了纵坐标，而横坐标直到18世纪才被沃尔夫等人引入。坐标这个词也是莱布尼茨在1692年创造的。1715年，约翰.伯努利引入了目前常用的三个坐标平面，将解析几何从平面延伸到空间。

莱布尼茨肖像

1745年，欧拉系统地描述了现代形式的解析几何，这是解析几何发展史上的重要一步。后来，法国数学家拉格朗日对解析几何的发展做出了重要贡献。他在1788年提出向量的概念，引起了数学家和物理学家的极大关注。向量分析的出现立即对解析几何产生了深远的影响。现在向量代数已经成为空间解析几何的一个重要内容。

在19世纪，经典解析几何已经相当完全地发展了。当时，这门学科被正式命名为“解析几何”，后来流传下来。

解析几何的建立在数学史上占有重要地位。它使变数学从此走上历史舞台，实现了数字与图形的交流。作为一种有效的数学工具，它不仅广泛应用于物理和其他工程领域，而且经常渗透到数学的各个分支，在整个数学中发挥作用。同时，它也能激励人们提出新的想法。拉普拉斯说得好:“只要代数和几何分道扬镳，它们的进展就会缓慢，应用就会狭窄，但是当这两种科学结合成一个伙伴时，它们就会从彼此身上吸收新的活力。从那以后，它一直在快速改善。”自17世纪以来，数学的巨大发展在很大程度上归功于解析几何。