裴波那契数列的若干表现

在各种竞赛中，世界名题出现在各种初中入学考试中的概率非常高。这是由初中入学考试和数学竞赛的知识、兴趣和思想内容相结合的特点决定的。

中世纪最有才华的数学家斐波那契(1175 ~ 1259)，出生在意大利比萨的一个商人家庭。因为他的父亲在阿尔及利亚做生意，所以他年轻时在阿尔及利亚学习，学到了许多尚未传播到欧洲的阿拉伯数学。成年后，他继承了父亲的事业，去了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里。

斐波那契是一个非常有才华的人，尤其擅长数学研究。他发现当时阿拉伯数学比欧洲大陆的数学更发达，这有利于欧洲数学的发展。在其他国家和地区做生意时，他特别注意收集当地的算术、代数和几何数据。回到中国后，他们将研究和整理这些资料，并将其编入《算命书》(1202，或算盘书)。《计算书》的出版使他成为欧洲著名的数学家。在《清算之书》之后，他完成了两本书:《几何学的实践》(1220年)和《四艺之书》(1225年)。

当时苏静的影响相当大。这是一部从阿拉伯语和希腊语材料编译成拉丁语的数学著作。当时，它被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，并被认为是两个多世纪以来的经典之作。

在当时的欧洲，虽然一些阿拉伯数字和印度算术在某种程度上是已知的，但它们仅限于修道院，普通人只使用罗马数字，并尽可能避免使用“零”。斐波那契的《计算经》介绍了阿拉伯数字和印度整数、分数、平方根和立方根的计算方法。这本书对欧洲大陆产生了巨大的影响，并改变了当时数学的面貌。他在书的序言中写道:“我在印度方法中加入了一些我自己的方法和一些欧几里得几何的微妙技巧，所以我决定写这本书，共15章，这样拉丁人就不会对这些东西如此陌生了。

在斐波那契的《计算书》中，记录了大量的代数问题及其解，并且所有的解都被严格证明。以下是书中记录的一个有趣的问题:

分析与解决方案:我经常在课堂上提到，有些话题有不同的表达方式。事实上，只要通过现象把握本质，待揭示问题的本质在不同的表现形式中是相同的。

这个问题的实质是上面提到的生长树，这是一个非常著名的Peibonacci序列。

从图中很容易看出，从第一行开始，实心点的数量排列如下:0、1、1、2、3、5...

对于每个空心点，它在下一行只产生一个实心点，而对于每个实心点，它在下一行产生两个点，一个为空，一个为实。到第六个小时，我们可以看到从这一行的五个实心点到下一行，我们肯定可以产生五个实心点，另外五个是空心点，另外三个空心点也可以产生三个实心点，所以下一行是5+3=8个实心点。类似地，下一行中的实心点是该行中的所有实心点加上所有空心点，即8+5 = 13...不用说，这实际上有一个非常明显的规则:也就是说，本列第三个数字中的任何一个数字都等于它的前两个数字之和。因此，可以快速推导出结果:0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610。第16行的实线点数是610。

另外，空心点的数量也有一定的规律，可以列出来看:1，0，1，1，2，3，5，8...你能找到规则吗？第16行中空心点的数量是多少？

读者们，有了以上的经历，你能看到以下问题的本来面目吗？

[高考2]有一堆12场比赛。如果规定一次拿1到3根火柴，有多少种不同的方法可以拿掉这堆火柴？

[高考3]如下图所示，小芳和小张正在玩跳棋。小方从甲跳到乙，一次一两步。小张从C跳到D，一次一步、两步或三步。规则:用最不同的跳跃方法跳到目标的人获胜。获胜的一方比另一方有更多的跳跃方法。

[高考4]一只青蛙从一片5米宽的稻田的一边跳到另一边。它一次只能跳0.5米或1米。青蛙跳过稻田有多少种不同的方式？

研究发现，学生在这类问题中最常见的错误是错误项目的数量。例如，第一个问题显然是55，但很容易被计算为34或89。因此，我们必须注意次数和答案之间的一一对应关系。