彻底解决“四色问题”

小学数学故事:彻底解决“四色问题”

地图的“四色问题”(也称为“四色猜想”)是由英国大学生弗朗西斯首先发现的？1852年，弗朗西斯·库特里在绘制地图时发现他找不到科学证据，于是去请教他在伦敦大学学习的哥哥费特里克。弗雷德里克·库特里。经过几天的工作，兄弟俩无法证明这一点，所以他们的兄弟去了奥古斯都，一个著名的数学家和伦敦大学的老师。德？奥古斯都·蒙瑞克问，但摩根教授当时无法证明。他写信给他在三一学院的好朋友，著名的数学家威廉？威廉·罗恩汉密尔顿，希望他能帮助证明。但是汉密尔顿对这个问题研究了13年，他无法证明这一点。自1879年以来，世界各地都有人提出并证明了“四色问题”，但他们都不令人信服，并被其他人所否认。到目前为止，这个“四色问题”与“哥德巴赫猜想”和“费马大定律”一起，仍然被认为是数学史上最著名的三大难题。

2004年夏天，我刚接触到“拓扑学”，试图用“拓扑学”的方法来分析“四色问题”。只花了大约半个小时就证明了“四色问题”。2004年底，当我的“四色问题证书”(以下简称“证书”)在许多数学网站上公布后，许多读过它的人认为它非常正确。然而，一些不理解的人认为证明“相互连接的点不超过四个”并不能证明“四色问题”。他们认为把四个点连接起来只是计划中的局部现象，不能代表整个计划。他们还提出，例如，中间点周围的五个点的图形没有相互连接的四个点，但也需要四种颜色。但是，我想在这里强调，《证明》中的三个定理一般说“三点必须封闭，四点必须包围，五点必须打破”。这并不是说如果四个点相互连接，只需要四种颜色。证明“四色问题”的关键在于“五色必须打破”。“证明”分析了第五点E落在闭图中航内外的情况，还提到如果第五点落在连接线上，它肯定会切断连接线。然而，图中没有显示截止的情况。事实上，这幅图和另外两种情况是一样的:一个被三个点包围，另一个被一个小的封闭图包围。接下来，我将从第五点开始，然后是第六点，第七点，第八点...直到有无穷多的点证明“四种颜色总是足够的”。

为了使分析后的图形更直观、更清晰，我们可以从另一个角度来看有四个点相连的图形:将闭合图形放置在球面上，每个点之间的距离是均匀的，将每条连接线拉直，图形就变成了一个规则的三棱锥。图1是从上到下以ABC面为底部、点d为顶点的俯视图。如果三棱锥被翻转到一边，例如，点b作为顶点，ACD面成为底面，因此外部的三条线实际上与内部的三条线相同，图形的外表面实际上是三棱锥的底面，并且底面和三棱锥的三条边实际上是相同的。这样，任何第五个点只能放在三个小三角形(边)的中间和里面的三条连接线(棱)上。

当第五个点被放置在任何小三角形的中间时，显然这个点只能连接到三个周围的点(图1中的e点)，并且小三角形被分成三个较小的三角形，所以只要第六个点和第七个点...落在三角形的中间直到任意数量的点，每个点只能连接到周围的三个点，所以不管有多少点都“四种颜色就足够了”。

当第五点位于任意中间连接线(包括上述越来越小的连接线)上时(如图2中的点e所示)，点e成为三角形ABD和三角形ACD的公共边AD之间的点，从而实际上形成ABDE和ACDE的两个四边形，并且在最大平面图中没有多边形。如果点E连接到点B，并且点A和点D仍然从右侧连接，那么点E成为三角形ABD的中点。如果点E连接到点C，点A和点D从左边连接，那么点E成为三角形ACD的中点。如果点e连接到点b和点c，那么点a和点d之间的连接必须被点e切断，这就是证明中的“必须切断五个点”。然后看整个图。点e被三角形ABC包围，而不是点d的原始位置，点d又被三角形EBC包围。接下来，第六点和第七点...可以落在任何公共边上，直到任意多个点，最后会变得和上面的情况一样，形成一个包含小三角形的大三角形，和一个包含小三角形的小三角形...以便在第一级无限期地继续下去。

因此，在最后，我们可以肯定地说，“任何复杂的平面都是由围绕在点地图周围的三个不同大小的点组成的，所以只有四种颜色就足以使相连点的颜色不同。

这样一个简单的证明实际上是由摩根教授在1860年提出的，但是他自己立即拒绝了。他主要是把中间点周围的五个点作为最大的平面，而没有把金字塔底部的五边形分开，所以他看不到所有的点都可以被三个点包围。这一遗漏将如此简单的“四色问题”变成了一个永恒的问题。在超过150年的时间里，肯定有很多人实际上证明了“四色问题”，但他们都被摩根拒绝了。那些否认我的“证据”的人实际上和摩根教授想法相同。

在这里，我还必须肯定地说，过去有些人用“穷举法”和电子计算机所使用的所谓证明，肯定是不完整的，图形的变化是无穷无尽的，不可能用数以千计的例子来“穷尽”一个无限的数字。正如“七桥问题”可以用“穷举法”来证明，但当它变成“八桥、九桥、十桥”时...无数桥梁的问题”，这也能被计算机证明吗？