广义坐标

为确定物体(或物体系)在任一时刻的位形而选定的独立变数。例如在竖直平面中摆动的单摆的位置可用单摆的摆线与竖直向下方向的夹角θ来确定,θ即为确定其位置的广义坐标。

1、定义

确定质点系的位置所用的独立参变量。可以是长度,也可以是角度或其他物理量(如面积、体积等),对于同一质点系广义坐标的选取也不是唯一的,这均取决于应用时的方便。

2、独立广义坐标

广义坐标是独立变化的,而且一经确定,系统的位置也就相应地完全被确定了。当质点系只具有完整约束时,广义坐标与由自度的个数相等。当质点系有非完整约束时,广义坐标大于*度的数目。

选用广义坐标,具有无需求解约束力就能对大多数系统的运动进行分析的优越性。

3、概念由来

广义坐标的概念由Lagrange(拉格朗日)提出，在拉格朗日之前人们已经用它解决过一些问题。

例如：Eular（欧拉）描述刚体运动的三独立变量——欧拉角

广义坐标的提出虽然只是描述方法上的改进，但是对力学发展产生了深远影响。

广义坐标不仅摆脱了卡氏坐标下的多体系统研究中约束所造成的巨大困难，并用最少的参数描述系统位形。同时，由于坐标的相互独立性，研究系统运动也有利得多。

4、理论说明

对于含有n个质点的质点系，在空间有3n个坐标。若这些质点间存在k个有限约束，则约束方程可写为：fs(x1，x2，…，x3n；t)=0（s=1，2…，k）。利用约束方程消去3n个坐标中的k个变量，剩下N=3n－k个变量是独立的。利用变量转换，可将这N个变量用其他任何N个独立变量q1，q2…，qN来表示。因此，3n个x坐标可用N个q表示为xi=xi(q1，q2…，qN；t)（i=1，2…，3n）。这种相互独立的变量称为广义坐标，其数目N等于完整系统的*度。

常用的广义坐标有线量和角量两种。例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程s作广义坐标；用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角θ作广义坐标。广义坐标对时间的导数称广义速度。同样，因为问题需要也会有广义加速度、广义动量、广义角动量等。

5、生活用例

能确定质点系位置的独立参量。例如定轴转动刚体的转角,平面运动刚体的质心坐标与绕质心转动的相对转角,曲柄连杆机构中曲柄的转角。用广义坐标研究问题,是分析力学的一个显著特点与优点。