小学数学知识问答300例—方程解应用题找等量关系的方法

237.用方程解决应用问题时，如何找到等价关系？

在解决应用问题时，我们经常会发现应用问题中各量之间的相等关系，通常称为“相等关系”，然后求解方程。下面是一个例子。

(1)仅含三个量的简单应用问题的等价关系和方程。

仅包含三个量的简单应用问题。如果已知两个量，找到第三个量。这些应用问题的等价关系是显而易见的。根据三个量之间的相等关系，通常可以列出三个方程。在这三个方程中，可以选择一个方程作为解决问题的方程，未知量通常放在等号的左边，用字母x表示。

例1:大豆和绿豆总共重90公斤，其中65公斤是大豆，许多公斤是绿豆？

分析:根据这个问题中的三个量，可以列出以下三个方程:

(1)总重量90公斤——大豆65公斤=绿豆重量；

(2)绿豆重量+大豆65公斤=总重90公斤；

(3)总重量为90公斤-绿豆重量= 65公斤大豆。

如果未知量用x表示，并放在等号的左边，则等式可以列出:

X+65=90或90-x=65

因为标题是“大豆和绿豆重90公斤”，所以列出的等式是“x+65=90”。

例2:小霞高158厘米，比肖勇高13厘米。肖勇的身高是多少？

分析:根据这个问题中的三个量，可以列出以下三个方程:

①小霞的身高158厘米-13厘米=肖勇的身高；

(2)小霞的身高158厘米——肖勇的身高=13厘米；

(3)肖勇的身高+13厘米=小霞的身高158厘米。

如果未知量用x表示，方程式可以根据标题“小霞的高度是158厘米，比肖勇高13厘米”列出:

158-x=13或x+13=158

例3:一辆卡车每小时可以行驶45公里，几个小时可以行驶270公里。

分析:根据常用的速度、时间和距离之间的定量关系，可以写出以下三个方程:

(1)每小时45公里×小时= 270公里以外；

(2) 270公里/小时= 45公里/小时=小时；

(3) 270公里/小时= 45公里/小时

如果你为整个旅程设定X小时，你可以根据问题的含义列出方程式:

45x=270或270÷ x = 45

例4:一个矩形的面积是2800平方厘米，它的长度是70厘米，它的宽度是多少厘米？

分析:面积和体积计算相关主题的等价关系是面积和体积的计算公式。这个问题是矩形面积，根据矩形面积的计算公式，可以写出以下三个方程:

(1)长×宽=矩形面积；

(2)矩形面积÷长=宽；

③矩形面积÷宽度=长度。

如果矩形的宽度是x厘米，可以根据问题的含义列出方程式:

70x=2800

总之，在寻找等价关系和等式时，主要是基于应用问题的量的关系，并根据四种运算的意义形成等式。然而，方程的解法和算术在解决问题时是不同的。算术解法，为了找到未知数，需要对已知数进行收集和分析，找出未知数和已知数之间的关系，用已知数和运算符号形成公式，通过计算找出未知数。为了解决列方程的应用问题，可以用字母来表示未知数，如x和y，使未知数x和已知数在同一个位置，并根据问题中三个数的相等关系直接参与列运算。对于一些在算术上需要“逆解”的问题，通常用方程解更容易。

(2)包含三个以上应用问题的等价关系和方程。

如果一个应用问题有三个以上的量，应该仔细检查问题的意义，找出问题在说什么，以便分析已知量和未知量之间的关系，并列出方程式。

例1:地球绕太阳一周需要365天，这是水星绕太阳一周13天的4倍。水星绕太阳运行需要多少天？

分析:由于求解列方程的应用问题可以使未知数(x)和已知数在同一个位置并直接参与列运算，我们可以适当地改变问题中所述的条件。这个问题可以说是:水星绕太阳运行时间的四倍加上13天等于365天。这样，可以列出以下等式:

4x+13=365

这个问题也可以说是:365天减去水星环绕太阳所需时间(x)的4倍等于13天。这样，可以列出以下等式:

365-4x=13

这个问题也可以说是365天减去3天，相当于水星绕太阳一周时间的4倍。让我们把未知的数(x)写在等号的左边，然后得到等式:

4x=365-13

上面列出的三种不同形式的方程都是解决这个应用问题的方程。任何一个都可以用来解决这个问题。

例句2:学校花了355元买了五个篮球和七个排球。众所周知，每个篮球的价格是36元。每个排球的价格是多少？

分析:如果这个问题用数学方法解决，那就是“逆解”问题。如果用方程法来解决这个问题，根据题目中已知的条件就更容易找到等价关系。

众所周知，每个篮球的价格是36元。如果每个排球的价格是X元，那么方程可以列出:

7x+36×5=355

例3:今年刘长堤小学五、六年级的学生种植了150棵树。六年级种植的树木数量是五年级的两倍。每个年级种了多少棵树？

分析:这个问题是一个常见的典型应用问题，通常称为“和次问题”。如果你用算术方法来解决，它是有规律的。那就是:

两个数之和÷(倍数+1)= 1倍

然而，通过使用方程方法来解决问题，我们可以按照标题中描述的已知条件的顺序直接写出等价关系。

为了计算方便，我们通常将“可作为1 (1倍)”的数量设置为x，在这个问题中，我们将5级中种植的树的数量设置为x，然后将6级中种植的树的数量设置为2x。列出的等式是:

x+2x=150

例4:甲镇和乙镇之间的公路长216公里。汽车甲和乙同时离开彼此相对的两个城镇，并在3小时内会合。汽车甲每小时行驶38公里，汽车乙每小时行驶多少公里？

分析:A和B汽车同时驶出两个城镇，三小时后相遇。这表明:一辆汽车的3小时行程+B辆汽车的3小时行程=两个城镇之间的道路长度。假设汽车b每小时行驶x公里，方程式如下:

38×3+3x=216

等式也可以根据以下等价关系列出，即两个城镇之间的道路长度-汽车b的3小时行程=汽车a的3小时行程。等式可以列出:

216-3x=38×3

汽车A和汽车B同时离开并向相反的方向行驶，因此，两个汽车每小时行驶的总距离是汽车A和汽车B的速度之和。这样，可以写出一个等价关系，即汽车A和汽车B的速度之和×时间=两个城镇之间的道路长度。等式可以列出:

(38+x)×3=216