萨尔浒之战以少胜多的原理

我们年轻时都学过“纸上谈兵”这个词。事实上，赵括并不是历史上唯一一个在纸上谈兵的人。还有数学家。在1914年第一次世界大战期间，英国工程师弗雷德里克·兰彻斯特(我打赌这家伙是个顽固的理性主义者)异想天开地用数学分析了这场战争，并创造了著名的兰彻斯特战役模型。通过它，我们可以很容易地找到少胜多背后的数学故事，比如经典的萨尔胡战役。

但在故事开始之前，有必要解释这只是一个简化的数学模型，忽略了一些难以量化的因素，如天气、地理位置、人类和政治因素，这些因素对战争也有决定性的影响。事实上，从科学的角度来看，研究结果只对研究模型有效。然而，我们都知道研究总是从基本模型开始。

利用兰彻斯特模型分析战争，是一种著名的兰彻斯特作战模型，实际上是一种讨论参与者战斗力与时间关系的模型，可以用来描述战争双方战斗力丧失的过程。这可能有点抽象。让我们先考虑一个问题。现在有两个军队，甲军和乙军。甲军以精锐著称，但其兵力只有乙军的一半，而乙军人口众多，但其个人作战能力平均只有甲军的一半。此外，他们在其他方面都相当。如果两军交战，如果一方摧毁了另一方，另一方就会获胜。你认为谁会是这场战斗的胜利者？读者不妨选择一个答案(A-win，B-win或crash and burn)，然后看看兰彻斯特的战斗模型是怎么说的。

假设现在有一场战斗。战斗的双方是甲、乙双方，我们规定他们在战斗中某一时刻的战斗力(在冷兵器时代，一般军队中的士兵人数)分别为x( t)和y( t)，其中t代表时间。同时，为了方便起见，假设x( t)和y( t)都是t的连续可微函数，并且总是非负的。换句话说，双方的战斗力随着时间的推移而不断变化，不可能在某个时刻突然发生变化(例如《西游记》中的孙悟空从天而降救兵)，也不可能在某个时刻突然改变变化的速度(例如战斗时，对方打了任督的两脉)。

在此基础上，我们假设一方战斗力的变化是由敌人对它的攻击引起的，因此某一时刻战斗力的变化只与另一方在该时刻的战斗力正相关。

据此，我们可以得到以下两个微分方程:

系数A和B分别是乙方和甲方对对方的杀伤率，即一方每单位战斗力对敌人造成的战斗力损失。

这就是著名的兰彻斯特战斗方程式。也许这个公式目前还不够直观，但是如果你稍微改变一下，你就可以得到这个公式。

在上述等式中，假设等式左侧和右侧的值为正，当x = 0时，必须有y > 0。这也意味着当甲方的战斗力耗尽时，乙方还有人活着。在这种情况下，乙方自然获胜。同样，当等式左右两边的值小于0时，第一军将获胜。当这个值等于零时会怎样？显然，双方将以痛苦的方式走到一起。最后，正如电影《赤壁》在结尾所说:“每个人都输了。”

更重要的是，上述公式还表明，战斗双方的军事实力与各自军队的战斗力成正比。这也是著名的兰彻斯特广场法。

让我们举一个最简单的例子。如果两支实力相等的军队走到一起，那么a=b，x 0 = y 0 = 1，那么a y₀ 2 = b x₀ 2，最终双方将会走到一起。但是如果第一个军队去和第二个军队战斗，第二个军队的人数是第一个军队的两倍，但是每个士兵只有他的一半强(这正是前面提出的问题)？y₀ 2/b x₀ 2 = 2可以从2a = b，y 0 = 2x 0获得。这表明占多数的乙方将会赢，尽管他们的功夫只有对手的一半。

进一步看下面的例子，通过将条件2a = b，y 0 = 2x 0，x = 0代入上面给出的等式，我们可以得到y= √2 x。这意味着在B军完全消灭其强大的敌人，即精英A军之后，其自身部队的损失不到一半。这一事实无疑会给精英的A军带来压力，因为如果他们想在不改变人数的情况下打败B军，他们必须至少使每个士兵的个人战斗力是B军的四倍！

上面的例子表明，兰彻斯特的平方率直接反映了双方战斗力的对比。金庸的粉丝们一定还记得《笑傲江湖》中东方不败单独对抗令狐冲、任我行、左翼大使和任盈盈的精彩场景。双方实际上打成平手。根据兰彻斯特的平方率，东方不败的战斗力是其他四个国家平均战斗力的16倍。也就是说，如果令狐冲、任我行、左使和任盈盈的战斗力分别为100、80、60和40(平均战斗力为70)，东方不败的战斗力为70 × 16 = 1120。助教的“世界第一”真的不是一个空洞的名声。

从兰彻斯特到今天，将近一百年后，萨胡战役开始显得非常漫长。然而，这并不妨碍我们“事后聪明”并愿意去战场。我们也来纸上谈兵，用鼓励的话来指出当年的战场。这一次，我们将从数学的角度谈论萨尔胡的经典战役。

万历四十七年(公元1619年)，中国辽东发生了一场规模巨大、影响深远的战争。

在这场战斗中，当时只有六万八千余人的晋军领袖爱新觉罗·努尔哈赤以其一贯的战略眼光，出人意料地击败了以两倍于他的兵力紧随其后的大明。明朝在这场战争中损失了近5万名士兵，300多名将军被杀，包括高级将领，如山海关连长杜松，他失去了所有的精英。如果说李当年对努尔哈赤的态度是“为蛇而灭”，那么这一仗过后的先王已经是“为蛇而灭”。

然而，在这场战争之前，并不是每个人都把战后的黄金当回事，至少明军总司令兼辽东经济战略总司令杨浩勋爵就是这样。据说，在萨尔胡战役之前，杨浩与努尔哈赤写了一封信，信中说明朝已经集结了47万军队准备进攻，并且会说出入侵日期的真相。杨浩似乎想用中国的神力威胁后者，以便“不战而屈人之兵”。因此，在当时的杨浩看来，“消灭小偷布揆耳先生”只是一个俘虏的问题，没有失败的希望。但事实上，如果杨浩勋爵知道兰彻斯特模型，也许他会发现，尽管他的力量是另一方的两倍，他的失败早在他离开的那天就已经注定了。

为什么？让我们用兰彻斯特的战斗方程式来分析萨胡之战。

那时，努尔哈赤手下的八旗子弟都是久经沙场的精英。当然，军队的素质不应该被低估。然而，明军也有先进的武器装备与之抗衡。此外，常年与叛军作战的川军和戚继光这一代名将精心打造的浙江军，都没有后金军队的战斗力。因此，双方的杀伤率系数可以认为是相等的。

军事形势如何？如前所述，后金军队约有六万人，而明朝军队约有十二万人。就像前面的例子一样，后者的兵力是前者的两倍。换句话说，如果杨浩的军队就这样被杀死，努尔哈赤唯一的方法似乎就是在对方到来之前把他的士兵的战斗能力提高到原来的四倍。

然而，一个有趣的事实是，在萨尔湖之战的过程中，总是后金占据了军队的优势。原来，杨浩在进攻中把他的军队分成了四路，这四路没有统一的调度，他们之间的通信也不太方便(在实际的战争中，两路军队被努尔哈赤摧毁，而第三路军队对此一无所知)。这使得原本实力较弱的努尔哈赤拥有了在当地逐个打击少数人的战略优势。尽管后金的军队只有明朝军队的一半，但在每次战斗中，后金只面对自己军队的一半。

让我们来描述一下这一战略形势。假设金军和明军的后杀率系数是1，战斗力在一万单位，那么金军的后杀军事实力是:

假设明朝四军均势，即各有三万人(实际部署离此不远)，那么明朝的军力是:

我们发现，明军的军事力量具有巨大的优势，实际上相当于后晋军的军事力量。

当然，这里的计算有问题。我们给出的明军兵力分配方案恰好使明军的兵力总和最小化。根据平均不等式，只要实际分配方案是3.01、2.99、3和3，明军就不能打败后者吗？

在这种模式下确实如此。然而，这就要求当时的明军“文官不爱财，武官不惜死”，正如岳飞所梦想的那样。尽管损失惨重，军队仍坚持战斗到底。在这种情况下，努尔哈赤兄弟真的要担心他的脑袋去哪里了。不幸的是，事实并非如此。古代战争的一个事实是，当一方损失超过一定数额(通常不高)时，它往往会因为士气低落而分崩离析，然后变成一幅“追死人向北行进”的景象。在这种情况下，战斗变成了*，分散的部队的杀戮率约为0。因此，战争的绝大多数结果不是因为一方完全消灭了另一方，而是因为一方的士气不再可持续。

因此，让我们假设，当双方各自的兵力损失达到一半时，双方都会被击败。同时，对明军四路的实际部署进行了微调，采用4、3、3、2作为部署策略。这时，总兵力为38人，高于后金时期的军队。第一次战斗后，后一次战斗的剩余兵力x 1满足以下等式:

解决方案是x 1 =2√6≈4.90。也就是说，第一场战斗结束后，剩下的金军队兵力约为49000人。我们继续通过下面的等式求解x 2，x 3，x 4。

找到答案

计算结果表明，在四次战役中，后金军队的军事力量占主导地位，每一次战役的胜利者都是后金，所以最后的胜利者也是后金——尽管明军的总军事力量较高。

平心而论，这里没有对明军的不公。事实上，这种模式有利于明军，因为在当时的历史条件下，明军的士气水平很难达到其崩溃前伤亡人数的一半左右。根据“窃笑”中陈述的标准，最好的封建军队只能容忍10%到20%的伤亡而不会崩溃，除非是死亡。当后金时代的军队获胜时，它将只损失12，800人，远低于其最初兵力的三分之一。

借助数学工具，数百年后我们可以轻松计算努尔哈赤的胜利结果。不幸的是，当时承载着成千上万士兵生命的总司令杨浩却没有这种意识。甚至当总司令马林根据他自己的经验向他提议“国王应该是全能的，他应该能够带领他的军队一路前进。前进之前，他应该抓住罪人，倒他的窝”这个清醒的建议，他只是傲慢地坚持我。如此无能的指挥官最终摧毁了大明的精锐部队。

结论:万历四十七年二月二十五日，大明王师正式参战；3月1日，西路军遭到努尔哈赤的袭击。它寡不敌众，全军覆没。连长杜松被杀了。3月3日，北路军遭到袭击，寡不敌众，全军覆没。总兵马林狼狈逃回。3月5日，东路军遭到后方金军的伏击，措手不及，全军覆没。连长柳丁在战斗中牺牲了。3月6日，接到三方面军失败的消息后，南方面军匆忙撤军。此后，晋军乘势追击，损失惨重。结果就像我们小组在事后分析的一样。不幸的是，我们的分析并没有改变战争的结果，就像开元大将军马林的意见一样。

也许杨浩在因这场惨败而被监禁并被斩首之前，已经多次思考过这场战斗。他也许不能像我们这样定量地计算战争的结果，但至少他应该对《孙子兵法》的实际文章中的“以群众打少数”这个词有一个新的理解。

本文用兰彻斯特模型分析了在萨尔胡战役中已故国王战胜已故国王的数学原理。正如作者反复强调的，这个模型实际上是一个简化的数学模型，不能完全反映最真实的历史。然而，这丝毫不影响本文的价值。与各种冗余的历史数据分析相比，它给我们带来了一种眼前一亮的感觉。