美国大选

小学数学故事:美国大选

2008年11月4日，美国总统选举使奥巴马成为美国历史上第一位黑人总统，这一天将永远载入史册。美国媒体称之为“你生命中最重要的一次投票”——事实上，每次投票前都会有类似的活动，但这次可能是最合适的。

既然有了投票，就会有一个先发制人的机制来把它计算在内，然后被击败的人就会成为国王。在那个特殊的夜晚，美国的情绪极度动荡。莲藕淀粉(奥巴马的支持者)称之为美国历史上的一个新时代。燕麦片(麦凯恩的支持者)愤怒地说，奥巴马只是通过花言巧语窃取了第一名。米粥(希拉里·克林顿的支持者)感到沮丧，一直在想“如果希拉里赢得了*党初选……”。在大洋彼岸的中国，在互联网的帮助下，人们也在密切关注着这次选举中的各种麻烦。在论坛上，在博客上，每个人都理所当然地谈论着另一个国家的选举，并在某种意义上默认它是一面镜子，除了指向这个国家的快乐。由于众所周知的原因，我们几乎总是缺乏对投票的理解。从远处看火也是学习投票常识的一种方式。

“等一下，”你可能不同意，“如果在选举过程中学习政治运作是可以接受的，那么投票本身又有什么知识呢？“一人一票”的统计数据没问题。

当然，不仅如此。众所周知，美国的选举制度不是简单的一人一票。事实上，“一人一票”不一定是一个自然的方法，甚至不一定是一个好方法。

让我们从下面的简单例子开始。假设有一群人从美国广播公司的三名候选人中选择一人担任某个职位。下表列出了每个人对这三个人的内在偏好:

两个人认为a比b好，b比c好。

三个人认为a比c好，c比b好。

两个人认为c比b好比a好。

四个人认为b比c好比a好。

现在每个人都投票了。根据每人一票的原则，每个人都投一票给自己心中最有能力的候选人。结果是甲得了5票，乙得了4票，丙得了2票，甲比乙高比丙高，最后甲当选了。似乎没有问题。

如果我们改变规则，假设每个人都认为每人一票不足以反映民意，并决定按照上述优先次序投票，但每个人都投票给他认为最有能力的候选人和最没有能力的候选人，结果会有多大差别？一项计算显示，最后，a得了5票，b得了8票，c得了9票，排名c比b高，比a高，获胜者是c，得票最高的前a排在最后！

上述荒诞的事实表明，在选民不会改变的情况下，选举规则的改变有时会从根本上推翻(而不是直觉告诉我们的最微小的改变)选举结果。事实上，你很容易认为除了上面提到的一票制和两票制之外，还有许多其他看似公平的选举方法，例如数学家博达在1770年批评法国科学院选举制度时提出的博达计数法。Borda认为，如果每个人只投一票，选民对他们心目中最好的选项以外的选项的偏好顺序将无法在选举中表达出来，而且每人投两票或更多票是不公平的，因为这将消除每个人心目中最好的和第二好的区别。他建议，例如，当仍然有三名候选人时，每个人应该投两票给最佳候选人，一票给第二名最佳候选人，没有票给第三名最佳候选人。这是表达选民偏好顺序的最完整的方式。如果你把这条规则应用到上面的例子中，结果将是A得到10票，B得到12票，C得到11票，B比C高，最后B当选。-另一个新结果。

事实上，抽象上述讨论。无论是一票制、两票制还是Borda制，都可以看作是顺序投票制的一个特例。所谓排名投票是指每个人在心中为候选人安排一个优先顺序，然后在每个顺序中给人们一定数量的选票。这听起来是一个非常合理的方法。唯一的区别是投票的数量，而数学家萨雷在上世纪末给出了以下荒谬的定理:

如果有n个候选人，那么就可以找到一个合适的选民群体，这样这个选民群体就可以在偏好不变的情况下，通过不同的排名投票系统放弃(n-1)(n-1)！不同的投票结果(这是非常多的组合)。不仅如此，如果n>3，则可以找到合适的投票者群体，从而在投票者偏好不变的情况下，通过选择合适的排名投票系统可以选举出任何候选人。