美国大选的投票

2008年11月4日，美国总统选举使奥巴马成为美国历史上第一位黑人总统，这一天将永远载入史册。美国媒体称之为“你生命中最重要的一次投票”——事实上，每次投票前都会有类似的活动，但这次可能是最合适的。

既然有了投票，就会有一个先发制人的机制来把它计算在内，然后被击败的人就会成为国王。在那个特殊的夜晚，美国的情绪极度动荡。莲藕淀粉(奥巴马的支持者)称之为美国历史上的一个新时代。燕麦片(麦凯恩的支持者)愤怒地说，奥巴马只是通过花言巧语窃取了第一名。米粥(希拉里·克林顿的支持者)感到沮丧，一直在想“如果希拉里赢得了*党初选……”。在大洋彼岸的中国，在互联网的帮助下，人们也在密切关注着这次选举中的各种麻烦。在论坛上，在博客上，每个人都理所当然地谈论着另一个国家的选举，并在某种意义上默认它是一面镜子，除了指向这个国家的快乐。由于众所周知的原因，我们几乎总是缺乏对投票的理解。从远处看火也是学习投票常识的一种方式。

“等一下，”你可能不同意，“如果在选举过程中学习政治运作是可以接受的，那么投票本身又有什么知识呢？“一人一票”的统计数据没问题。

当然，不仅如此。众所周知，美国的选举制度不是简单的一人一票。事实上，“一人一票”不一定是一个自然的方法，甚至不一定是一个好方法。

让我们从下面的简单例子开始。假设有一群人从美国广播公司的三名候选人中选择一人担任某个职位。下表列出了每个人对这三个人的内在偏好:

两个人认为a比b好，b比c好。

三个人认为a比c好，c比b好。

两个人认为c比b好比a好。

四个人认为b比c好比a好。

现在每个人都投票了。根据每人一票的原则，每个人都投一票给自己心中最有能力的候选人。结果是甲得了5票，乙得了4票，丙得了2票，甲比乙高比丙高，最后甲当选了。似乎没有问题。

如果我们改变规则，假设每个人都认为每人一票不足以反映民意，并决定按照上述优先次序投票，但每个人都投票给他认为最有能力的候选人和最没有能力的候选人，结果会有多大差别？一项计算显示，最后，a得了5票，b得了8票，c得了9票，排名c比b高，比a高，获胜者是c，得票最高的前a排在最后！

上述荒诞的事实表明，在选民不会改变的情况下，选举规则的改变有时会从根本上推翻(而不是直觉告诉我们的最微小的改变)选举结果。事实上，你很容易认为除了上面提到的一票制和两票制之外，还有许多其他看似公平的选举方法，例如数学家博达在1770年批评法国科学院选举制度时提出的博达计数法。Borda认为，如果每个人只投一票，选民对他们心目中最好的选项以外的选项的偏好顺序将无法在选举中表达出来，而且每人投两票或更多票是不公平的，因为这将消除每个人心目中最好的和第二好的区别。他建议，例如，当仍然有三名候选人时，每个人应该投两票给最佳候选人，一票给第二名最佳候选人，没有票给第三名最佳候选人。这是表达选民偏好顺序的最完整的方式。如果你把这条规则应用到上面的例子中，结果将是A得到10票，B得到12票，C得到11票，B比C高，最后B当选。-另一个新结果。

事实上，抽象上述讨论。无论是一票制、两票制还是Borda制，都可以看作是顺序投票制的一个特例。所谓排名投票是指每个人在心中为候选人安排一个优先顺序，然后在每个顺序中给人们一定数量的选票。这听起来是一个非常合理的方法。唯一的区别是投票的数量，而数学家萨雷在上世纪末给出了以下荒谬的定理:

如果有n个候选人，那么就可以找到一个合适的选民群体，这样这个选民群体就可以在偏好不变的情况下，通过不同的排名投票系统放弃(n-1)(n-1)！不同的投票结果(这是非常多的组合)。不仅如此，如果n>3，则可以找到合适的投票者群体，从而在投票者偏好不变的情况下，通过选择合适的排名投票系统可以选举出任何候选人。

也许你会认为这只是数学家构造的一个尴尬的反例。例如，在许多情况下，人们“团结一致”认为甲优于乙优于丙，那么无论如何投票，甲最终都会当选。当然，这是真的。不幸的是，当三人选举中的选民人数足够多时，萨阿里和塔塔尔乌仔细地估计了这种“正常情况”(即无论如何投票，同一个人当选)和“异常情况”(即同一选民在不同的投票制度下选举不同的候选人)的发生概率。结果，发现“正常情况”的概率只有30%左右，也就是说，如果是三人选举，最终的选举结果大部分时间会受到选举制度改变的影响！

事实上，人们注意到选举结果对选举制度的强烈依赖已经不是第一天了。如果你看看西方国家的选举制度，你会发现，虽然他们都声称是*选举，具体的投票方法几乎是两个或两个不同的。以最熟悉的美国总统选举为例，许多人已经注意到，美国选举不是统一的全国计票，而是每个州单独计票，然后每个州的获胜者包括该州的所有“选民投票”(其数量根据每个州的人口比例预先确定)。这是美国建国初期形成的“选举团”制度。其目的是平衡国家权力，扩大弱势群体和地区的利益，防止少数人的利益被忽视。例如，某个利益集团或族裔群体，如亚洲人，在美国人口中所占比例很小(约为4%)，因此，如果选票在全国范围内统一计算，除非两位候选人获得票数相当高的选票，否则4%的偏好不会受到特别关注。然而，在选举团制度下，由于亚洲人在某些州(如加利福尼亚)的比例很高(12%)，这些亚洲人的投票倾向将影响加利福尼亚所有选举人投票的趋势，而加利福尼亚的选举人投票在美国非常重要，因此原本很小的群体的权力将被这种杠杆效应放大，从而得到更多的关注。200年来，这种投票方式已经成为美国政治体系的核心之一。虽然有很多争议，但至今没有改变。

然而，正如我们以前所看到的，由于采用了不同于普通点票方法的点票方法，我们不得不面对最终当选人与普通点票方法不一致的情况。最近的(也是最著名的)例子是2000年的总统选举，乔治·布什以271票对阿尔·戈尔的266票赢得了选举，而全国计票显示阿尔·戈尔赢得了48.4%的选票，乔治·布什赢得了47.9%的选票。显然，戈尔正面临一个看似不公平的结果(当然，这取决于你如何定义公平)，只要美国继续采用选举团制度，他肯定不会是最后一个面临这种情况的候选人。

回到我们最初的问题，既然同一批选民可以在不同的选举规则下给出不同的结果，有没有其他方法可以进一步比较这些选举规则的利弊？换句话说，如果选举制度是预先设立的，还会出现甚么问题呢？

让我们考虑下面这个有趣的例子。假设一个部门想招聘一个新人，有四个人竞争这个职位。在检查他们的情况后，该部门对他们进行内部评估。其间

三个人认为a比c好，d比b好。

六个人认为a比d好，c比b好。

三个人认为b比c好，d比a好。

五个人认为b比d好，c比a好。

两个人认为c比b好，d比a好。

五个人认为c比d好，b比a好。

两个人认为d比b好，c比a好。

四个人认为d比c好，b比a好。

如果提前同意一票制，最终的结果是甲高于乙，丙高于丁，所以人力资源部决定向甲发出聘用通知..

假设在这个时候，人力资源部突然收到一个来自C的通知，声称由于收到其他公司的录用通知，它将退出申请。那么，人力资源部门应该在这个时候提供A，还是宣布它将再次投票，因为少了一个竞争对手？恐怕大多数人会认为C的退出不会影响大局，因为他在民意调查中落后了。

事实上，并非如此，只要划掉上表中的C名，重新计算一下，就会发现在一票制下，结果是D高于B，高于A，票数最低的D应该得到这个报价！

(事实上，如果你感兴趣，你可以把那些退出的人从C换成D或B或A，你会发现无论谁退出了这个例子中的竞争，其余人的投票顺序都会颠倒过来。-当然这是一个精心构建的例子，一般来说没有那么离谱。)

这个例子反映了投票系统的“混乱”，或者结果对干扰的敏感依赖。我们都知道一句描述混乱的名言是“一只蝴蝶在某个地方扇动翅膀可能会影响飓风”。那么我们可以在这里说，“一个次要竞争者的变化可能会影响一个重量级竞争者的兴衰。”一个类似但复杂得多的例子是，在2008年初的*党初选中，希拉里和奥巴马进行了两匹马的角逐，希拉里略微领先。排在第三位的爱德华兹终于在1月底“超级星期二”之前宣布退出比赛。他的退出很快打破了希拉里和奥巴马之间的平衡，部分促成了奥巴马在超级星期二之后的10连胜，并最终迫使希拉里退出选举。

混乱是由选举制度本身决定的，但是对于不同的选举制度，“混乱”的程度是不同的。关于分级投票制度，萨雷给出了以下结果:对于三个以上的候选人，大多数分级投票制度将允许一些特殊情况，在候选人退出时导致选举结果的所有可能的剧烈变化。只有少数投票方法，如Borda计数法，可以在一定程度上避免这种变化的程度，例如，至少可以防止原来排名第一的候选人突然成为名单的底部。

博达的计数方法似乎比其他排序投票系统更好，但这取决于其含义。毕竟，博达的计票方法要求每个选民对所有候选人都有一个完整的排名，这在实践中往往是不可能的。此外，如上述结果所述，即使采用Borda计数法，也不能从根本上排除混沌。

事实上，在投票中，我们面临的不仅仅是一个简单的数字游戏，而且是人类社会最基本的问题之一:我们如何将社会每个成员的意见融入社会的整体意见中？有趣的是，这个问题的最佳答案之一是数学形式。伟大的经济学家、1972年诺贝尔经济学奖获得者阿罗在他著名的著作《社会选择和个人价值》中给出了著名的阿罗定理。这里考虑的是比投票更常见的情况。也就是说，如果一个群体的每个成员对一组给定的选项(或候选人)有一组偏好顺序，那么“社会选择机制”能有多好才能得到一个全面的排名？换句话说，我们需要找到一个函数，将每个人的排名映射成一个综合排名。我们对此功能有以下自然标准:

非*:这个函数的输出意见不能总是等于同一个人的输入意见，也就是说，没有一个人的意见总是高于每个人的意见。

帕累托最优:如果在每个人的排名中，甲优于乙，那么甲的产出也应该优于乙。

无关因素的独立性:如果人们对c的看法发生了变化，就不应该影响a和b在结果中的相对排名。

阿罗定理意味着只要有三个或更多的候选人，就不可能有一个功能或社会选择机制来满足这些标准。

这个定理有许多流行(和误导)的解释和陈述，如“所有投票都是不公平的”或“唯一理想的决策方法是*”等。然而，事实上，通过前面的讨论，我们可以很容易地认识到，三个条件中最严重的是最后一个，即无关因素的独立性。前两个似乎是非常自然的要求(事实上，帕累托最优是有争议的，但这一点没有显示出来)。我们已经看到，由于投票机制的混乱特点，只有第三个很难满足。

这个结论似乎令人失望。这意味着我们的社会不仅暂时不完美，而且永远不会完美。正如我们在许多其他领域所看到的，这种不完美似乎受到造物主的限制，也就是说，它不是由于一些粗糙的错误，而是理性和逻辑的必然。无论在数学还是自然科学中，都有无数这样的例子。

但就像其他领域的许多类似例子一样，正是这些不完美让这个世界充满魅力。现实中不完美的解剖和对更好理想的无限追求，让我们有了进化的动力。正如我们对大洋彼岸的传奇经历和教训有着深刻的理解一样，我们也能更好地理解自己的方向。

这一切最吸引人的地方在于，如此复杂的现实可以用如此美丽的数学来描述和展示。——诚然，人们对这一课题的许多细节仍然知之甚少，仍有许多悖论有待澄清，还有许多工具有待发明，但第一步已经迈出，人们已经意识到人类社会生活本身可能在某种程度上被数学语言所描绘和约束。自上世纪中叶以来，一批诺贝尔经济学奖获得者诞生在这一领域，同时也有一些深刻而美丽的数学成就。社会科学与数学的互动已经成为一种大趋势。

正如萨雷在一篇名为《数学与投票》的文章中所说，前方还有更多的挑战和机遇，一切都只是开始。