想要将复杂问题简单化，来看看数学家们都怎么做的？

凯文·哈特内特

翻译:诺尔

审校:颜清辉

根据“弱平斯克猜想”，所有的进化都可以用随机性和确定性的独特组合来描述。

想象一下，一个花园里开满了世界上各种各样的花:精致的兰花、直立的向日葵、长着仙人掌的蜡质花，当然还有泰坦魔芋的臭花(也称为尸花，它的花散发出腐肉的臭味)。现在想象一下，把所有种类的花减少到只有两个品种，通过杂交这两个品种，所有其他品种都可以生产出来。

近年来在数学领域最具影响力的成就之一可以说是这样的。数学家蒂姆·奥斯汀研究的数学现象被称为系统进化的数学描述。

这种描述被称为动态系统。它可以用来从行星转移到股票。无论这个动力系统发生在哪里，数学家们最想确认的是如何研究它的定律。最基本的一点是，不管系统有多复杂，它都可以分解成随机系统和确定性系统的组合。

这个问题最早是在1970年提出的:“弱平斯克猜想”。奥斯汀的猜想为思考各种复杂的现象提供了一个优雅而直观的视角。他表明，本质上，任何动态系统都是确定性和随机性的结合。

命运与机遇

动态系统的运动是从一些初始状态输入开始的，例如一个位置的摆，根据牛顿定律，它在下一个第二位置产生输出。重要的是，动态系统可以重复这个过程:把钟摆放在一个新的位置，用同样的规则得到下一个第二个位置。

动态系统也以纯数学形式出现。选择一个起始数字，并使用“将该数字乘以2”来生成一个新数字。然后，系统可以将输出数字反馈给规则，并一个接一个地产生下一个数字。

各种动态系统可以表示为两个简单动态系统的组合。这两个系统是相互独立的，但相互结合会产生越来越复杂的系统。例如，想象一个点在圆柱体表面移动:在圆柱体上放置一个点，应用一些规则，然后得到另一个点。

波士顿大学的数学家凯瑟琳·林赛说:“我们不需要研究整个系统，我们只需要把它分解成最小的有意义的部分来研究和分析这个问题。”。

这些组件有两种可能性，一种是完全确定的动态系统。就像例子中的单摆系统一样，如果我们知道单摆在某个时刻的位置，我们就可以不受限制地预测它的下一个位置。

第二个是完全随机的系统。例如，想象一个有以下规则的系统:扔一枚硬币，如果硬币面朝上，然后向左走；相反，向右走。最终路径必须完全随机。这意味着即使你知道到达某一点的所有路径，你也不知道下一步该走哪条路。

虽然有些动态系统是完全随机的，有些是完全确定的，但大多数是在随机和确定之间。例如，想象一下当我们随意行走时，我们会转过身来。这一次，这条路上有很多花——花的颜色是随机的。我们的规则仍然是一样的:硬币向左翻，硬币向右翻。你看到的花的颜色顺序是什么？

乍一看，你可能认为这完全是随机的。毕竟，花的颜色是随机分布的，你的行走也是随机的。然而，一旦你遇到一种颜色的花，因为你离它很近，你就有更大的可能性去拜访一种相同颜色的花。颜色的顺序本身不是随机的。

奥斯汀说:“如果你现在看到红色的花，你在接下来的两个步骤中看到红色的可能性会增加，因为你可能会先从左边再从右边回到原点。”。

这个“随机场景中的随机行走”系统——颜色的顺序——产生的结果部分是随机的，部分不是。1960年，数学家马克·平斯克推测，一些大的动态系统具有以下特征:它们是随机动态系统和确定性动态系统的混合物。

注:平克猜想适用于一些具有基本性质的动态系统。在这些系统中，随着系统的发展，积分既不会发散也不会收缩。更具体地说，如果您在空间中的一组点(例如圆柱体的表面)周围画一个环，使用动态规则使系统进化很长时间，然后在输出点周围画一个环，您会发现开始环和结束环是相同的。这些系统被称为“测量不变量”，在学生领域被称为遍历理论动力学研究。

普林斯顿数学家阿萨夫·诺尔说:“如果‘平斯克猜想’是正确的，那么它对世界的描述将是惊人的。”但是在1973年，唐纳德·奥恩斯坦证明了平克是错的。“这是一个过于雄心勃勃的声明，”西北大学的数学家布林娜·克拉说。

在数学中经常发生的是，数学家在证明所有的猜想都是错误的之后，经常试图使用更中性的陈述。1977年，数学家让-保罗·索韦诺提出了“弱平克猜想”。他弱化了最初的说法，推测平克设想的动态系统是完全随机系统和几乎完全确定性系统的结合。

修饰语“几乎”的引入区别了托维诺特和平卡斯的猜想。Tovinote意味着一个简单的确定性系统至少需要一些随机性，这些随机性可能很小，但必须存在。只要是这样，平克的想法就可以成立。

这非常接近最初的想法。托维诺特已经证明，如果这是真的，“弱平克猜想”可以应用于一系列系统。

在接下来的几十年里，数学家在证明“弱平克猜想”方面进展甚微。这不可避免地使托维诺特认为，即使条件宽松，这个猜想也是错误的。"在某些情况下，我认为这是完全错误的，这种猜测不会是普遍的."

然后蒂姆·奥斯汀出现了。

逐步解决方案

为了证明“弱平克猜想”，我们需要找到一种精确的方法来筛选动态系统，分离随机性和几乎确定性的元素。"以前的工作已经确定小的和随机的元素是最难分离的部分."托维诺特说。

奥斯汀从另一个角度看待这个问题，以理解电力系统中的小而随机的因素。动态系统在连续的空间中运行，例如在圆柱面上移动的点或在空间中摆动的钟摆。在这些空间中，点根据动态系统的规则以连续的弧移动。这些动力系统也可以连续执行许多步骤——你可以让它们永远运行。

然而，在奥斯汀的证明中，他没有考虑一个永远平稳连续运行的系统，而是考虑在一个离散的时间段(比如一百万步)内发生了什么。在这种情况下，他采用了托维诺特以前解决问题的方法。

奥斯汀说:“托维诺特最大的贡献是，他指出，如果数学规则可以在有限长度的字符串下操作，动态系统的性质就可以得到证明。”。"我的贡献是提出并证明这些字符串需要什么属性."

奥斯汀设想了一个动态系统，可以产生一系列1和0的输出数。如果动态系统要抛硬币，很容易发现头朝上是1，头朝下是0。任何动态系统都可以用来生成二进制序列，只需要将其空间分成两部分(不一定相等)。

以圆柱体上的动态系统为例，如果点落在圆柱体的一部分上，系统输出1；如果该点落在另一个零件上，系统输出0。

奥斯汀使用信息论中的一个叫做汉明立方体的工具来分析这些二进制序列。想象一个空心立方体。每个顶点被分配三个二进制数，如001或101。每次你从一个顶点移动到另一个顶点，这三个数字中的一个就会翻转。

实际的海明立方体比上面的例子复杂得多，在三维空间中包含更多的边和顶点。然而，它具有以下属性:任意两个顶点之间的距离，即从一个顶点到另一个顶点要经过的边的数量，与两个顶点上信息串的不同位置的数量相同。因此，000和001之间的距离是1，011和011之间的距离是2，111和000之间的距离是3。

为了分离复杂系统中的随机和确定性元素，奥斯汀考虑了动态系统在主序列中产生1和0序列的频率(如汉明立方体所示)。他证明了它们以某种方式分布在海明立方体上，并且它们聚集在立方体上方的一个子空间中。这种聚类本身反映了系统的确定性，但是它们以准随机的方式分布在这些聚类的序列中，这反映了系统的随机性。

当问题不能直接解决时，走弯路似乎更有效。

“如果有人能证明弱平克猜想，不管它是对还是错，我都不会感到惊讶，因为这个问题非常微妙，”奥斯汀德克萨斯大学的数学家刘易斯·鲍恩说。“我们真的不知道这种事情能否被证实。”

奥斯汀的结果为各种动态系统奠定了基础。对于数学家来说，即使他们的研究涉及各种相互关联的学科，他们仍然不能清楚地解释它们之间的关系。现在他们有了一个关于动态系统的指南，但是指南的发现还有待发现。

“数学家总是对构建事物的元素感兴趣。奥斯汀的证明是一个好结果，在纯数学研究中可能有许多应用，但是那些应用是什么样的呢？我不知道。”林赛说。

资料来源:https://www . quanta magne . org/math-proof-finds-all-change-is-mix-order-and-random-20190327/