苹果树下的例行出步

希尔伯特在海德堡呆了一个学期，在接下来的一个学期里，他本可以被允许去柏林听讲座，但是他深深地依恋着自己的家乡，所以他回到了哥尼斯堡大学。在下一个学期——1882年春天，希尔伯特仍然决定留在科尼斯堡。

此时，赫尔曼·尤科夫斯基在柏林学习了三个学期后回到了哥尼斯堡大学。闵可夫斯基从小在数学方面就很出色。据说有一次在数学课上，老师因为误解了问题而“挂了黑板”。学生们异口同声地喊道:“比科夫斯基，救命！”当他在柏林学习时，他因为出色的数学成绩获得了奖金。那时，17岁的约克夫斯基正沉浸在一项非常深刻的研究中——解决一个问题，巴黎科学院从列表中找出了这个问题:把一个数变成五个平方的和。一年后，1883年春天，18岁的尤克夫斯基和英国著名数学家史密斯分享了巴黎科学院的奖项。这一事件在哥尼斯堡引起了轰动。希尔伯特的父亲因此警告他的儿子不要轻率地与“如此著名的人”交朋友。但是由于他对数学的热爱和普遍信仰，比他小两岁的希尔伯特和明可夫斯基很快成为了好朋友。

1884年春天，年轻的数学家阿道夫.列昂尼德.赫维奇从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授。他不到25岁，在功能理论方面有出色的研究成果。希尔伯特和明科夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系。这三个年轻人必须每天下午5点在苹果树下散步。希尔伯特后来回忆道:“在日复一日的散步中，我们都沉浸在讨论当前数学的实际问题中。交流我们对问题的新理解，交流我们的想法和研究计划。”在他们三人当中，列昂尼德·赫维奇拥有广泛的“扎实的基础知识，并且组织良好”，因此他是一个天生的领导者，并说服了另外两人。希尔伯特当时发现，这种学习方法比在昏暗的教室或图书馆里钻来钻去补习班要好很多倍。这种例行的散步持续了八年半。在这种最悠闲有趣的学习方式中，他们探索了数学的“每个角落”，并观察了数学世界中的每个王国。希尔伯特后来回忆道:“那时，我们从未想过自己会走得那么远！”这三个人就这样“形成了一生的友谊”

正如许立志教授所指出的，好老师和好朋友之间的相互讨论对希尔伯特的成长和发展也起到了非常重要的作用。可以想象，这段时间是希尔伯特的才华、学识和知识迅速成长的重要阶段。没有这种经验，很难想象希尔伯特会在1900年在许多重要领域同时提出这么多著名的问题。这个关于希尔伯特散步的小故事告诉我们。除了课堂活动外，师生之间的课外交流以及学生之间的课外交流也是一种重要的学习方式，对数学学习非常有益。而且，因为没有书，没有纸和笔，就没有复杂的演绎和计算，只有那些可以用语言“说出来”的东西才能被谈论，即理解问题，分析整个过程中的思想和方法，挖掘总司令的灵魂形式演绎，......这对学好数学非常重要。学生也可以经常邀请几个好同学一起散步和聊天。这肯定会很有趣。