百鸡问题
百鸡问题是一个数学问题,出自中国古代约5—6世纪成书的《张邱建算经》,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题,该问题导致三元不定方程组,其重要之处在于开创“一问多答”的先例。后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书作了注释。刘孝孙为算经撰了细草。算经的体例为问答式,条理精密,文词古雅,是中国古代数学史上的杰作,也是世界数学资料库中的一份遗产。
中文名:百鸡问题
时间:5-6世纪
出处:《张邱建算经》
性质:数学问题
1、简介
百鸡问题是一个数学问题,出自中国古代约5—6世纪成书的《张邱建算经》,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题,该问题导致三元不定方程组,其重要之处在于开创“一问多答”的先例。
后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书作了注释。刘孝孙为算经撰了细草。算经的体例为问答式,条理精密,文词古雅,是中国古代数学史上的杰作,也是世界数学资料库中的一份遗产。
2、问题
今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡鶵三,值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、鶵各几何?答曰:鸡翁四,值钱二十;鸡母十八,值钱五十四;鸡鶵七十八,值钱二十六。又答:鸡翁八,值钱四十;鸡母十一,值钱三十三,鸡鶵八十一,值钱二十七。又答:鸡翁十二,值钱六十;鸡母四、值钱十二;鸡鶵八十四,值钱二十八。”
3、历史渊源
原书没有给出解法,只说如果少买7只母鸡,就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案,就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法,只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代,研究百鸡术的人渐多,1815年骆腾凤使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇(约1870)推广了百鸡问作《百鸡术衍》,从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式,如百僧吃百馒,百钱买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题,中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布·卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题,且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
4、解法
数学解法
从现代数学观点来看,实际上是一个求不定方程整数解的问题。解法如下:
设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只,由题意得:
①……x+y+z=100
②……5x+3y+(1/3)z=100
有两个方程,三个未知量,称为不定方程组,有多种解。
令②×3-①得:7x+4y=100;
所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4
令x/4=t,(t为整数)所以x=4t
把x=4t代入7x+4y=100得到:y=25-7t
易得z=75+3t
所以:x=4t
y=25-7t
z=75+3t
因为x,y,z为正整数
所以4t大于0
25-7t大于0
75+3t大于0
解得t大于0小于等于25/7又因为t为整数
所以t=1时
x=4;y=18;z=78
当t=2时
x=8;y=11;z=81
当t=3时
x=12;y=4;z=84
C语言解法
C语言解法
输出结果为:
公鸡0只,母鸡25只,小鸡75只
公鸡4只,母鸡18只,小鸡78只
公鸡8只,母鸡11只,小鸡81只
公鸡12只,母鸡4只,小鸡84只
java语言解法
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C#语言解法
程序如下:
C#语言解法
PHP语言解法
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