二次曲面

1、简介

二次曲面

二次曲面

quadricsurface

在三维坐标系(x、y、z)下三元二次代数方程对应的所有图形的统称。

2、分类

二次曲面有12种。以下是其名称及标准方程。

(1)圆柱面(Cyindricalsurface)

x^2+y^2=a^2

(2)椭圆柱面(Ellipticcylinder)

x^2/a^2+y^2/b^2=1

(3)双曲柱面(Hyperboliccylinder)

x^2/a^2-y^2/b^2=1

(4)抛物柱面(Paraboliccylinder)

y^2-2ax=0

(5)圆锥面(Conicalsurface)

(x^2+y^2)/a^2-z^2/c^2=0

(6)椭圆锥面(Ellipticcone)

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=0

(7)球面(Sphhericalsurface)

x^2+y^2+z^2=a^2

(8)椭球面(Ellipsoid)

x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

(9)椭圆抛物面(Ellipticparaboloid)

x^2/a^2+y^2/b^2=z

(10)单叶双曲面(Hyperboloidofonesheet)

x^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1

(11)双叶双曲面(Hyperboloidoftwosheets)

x^2/a^2-y^2/b^2-z^2/c^2=1

(12)双曲抛物面(马鞍面)(Hyperbolicparaboloid)

x^2/a^2-y^2/b^2=z

最常见的二次曲面是球面和直圆柱面及直圆锥面。此外，二次曲面还包括椭球面、双曲面（又分为单叶双曲面和双叶双曲面）和抛物面（又分为椭圆抛物面和双曲抛物面，后者又称马鞍面）。它们的大致形状，包括对称性，与各坐标面的交线，以及与坐标面平行的平面的截线（见图）。椭球面在3个对称轴上截得的线段，称为它的轴。当三个轴长相等时即为球面。当两个轴长相等时，它是由平面上的椭圆绕其对称轴旋转而成的旋转椭球面，一般椭球面实际是一个压扁了的旋转椭球面，它是二次曲面中仅有的一类限制在有限范围内的封闭曲面。平面上的双曲线分别绕它的虚轴和实轴旋转，得到旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面。平面上的抛物线绕它的对称轴旋转得到旋转抛物面。它们分别是上述几类曲面的特殊情形，压扁了就得到一般的形状。探照灯的反射镜和卫星电视天线常做成旋转抛物面的形状。当表示二次曲面的一个方程，能分解为两个一次方程的乘积时，这个二次曲面就退化成两个或相交或平行或重合的平面。

3、介绍

在欧氏三维空间里坐标x,y,z之间的二次方程（系数为实数，且二次项系数不全为零）所表示的曲面。一般说来，直线与二次曲面相交于两个点；如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行平面所截，其截线是二次曲线。

二次曲面的方程为：

奇异方向

曲面F(x,y,z)=0上适合的点(x0,y0,z0)称为奇异点或奇点，其他点称为寻常点。过曲面的寻常点所作的切线构成一个平面，称为该点的切面。通过该点且与切面垂直的直线称为法线。F(x,y,z)=0于寻常点(x0,y0,z0)处的切面与法线方程分别是与分类二次曲面上不在同一母线上任何两点所联的线段称为弦，对于二次曲面F(x,y,z)=0,如果一条直线的方向余弦l,m,n，若适合右式则此直线所对应的方向称为曲面的奇异方向，否则称为寻常方向。

径平面方程

二次曲面的一组具有寻常方向的平行弦中点在同一平面上。这个平面称为该方向的径平面。此方向称为径平面的共轭方向。F(x,y,z)=0的以方向余弦l,m,n为共轭方向的径平面方程为下式：关于径平面，当方向余弦l,m,n变动时,无数多的径平面形成一个平面族,方程是l(αx+hy+gz+u)+m(hx+by+ƒz+υ)+n(gx+ƒy+сz+w)=0。方程组的解称为一般二次曲面F(x,y,z)=0的中心。如果中心位于二次曲面上，则称为顶点。中心的几何意义是：二次曲面的通过中心的任何弦都以中心为中点。

二次曲面有如x2+y2+z2+1=0这样的空集情况。

方程形如(8)、(10)、(11)、(2)、(3)的曲面，分别称为椭圆面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆柱面或椭圆柱，双曲柱面或双曲柱；

二次曲面

对于(8)、(10)、(11)、(1)当α=b时,这些曲面是以z轴为旋转轴的旋转曲面,把它们分别称为旋转椭圆面，旋转单叶双曲面，旋转双叶双曲面，圆柱面或圆柱。对于旋转椭圆面，当α=b=с时，曲面成为以α为半径的球面。

在方程(9)，(12)，(4)的情况，曲面分别称为椭圆抛物面，双曲抛物面，抛物柱面或抛物柱；对于(9)，当α=b时，曲面成为以z轴为旋转轴的旋转椭圆抛物面（见彩图）。二次曲面(6)的曲面是二阶锥面，当a、b、c异号时,可以认为a>0,b>0,c=-1，曲面称为实锥面，且当a=b时，曲面称为直圆锥面。它是以z轴为旋转轴的旋转曲面；在方程(6)当a、b、c同号时,曲面变成点O，也称为虚锥面；(2),(3)……(13)称为这些曲面方程的标准型(标准型的α，b，с与(1)中的α，b，с不同)。

此外还有二次曲面的空集情况与另一个特殊情况，它们是虚椭圆面、虚椭圆柱面；对于(16)，曲面成为一对相交虚平面（交线为实直线）；对于(17)，曲面成为一对平行虚平面。因此共有17种情况。

方程组

这17种情况,可以通过矩阵来理解，即可以根据方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩数rankM与rank分类，由于rankM≤3，≤3，rankM≤rank,故知仅有五种情况。

对于曲面(8)，(11)，(10)来说，平面x=0,y=0,z=0;以及对于曲面(3)，(4)来说，平面x=0,y=0,分别称为曲面的主平面，主平面的交线称为主轴。对于旋转曲面来说，主平面及主轴的位置是不定的。标准方程中的α，b,с称为半主轴的长度或半主轴。在单叶双曲面或双曲抛物面上分别存在两族母线，同族的二母线不相交（也不平行），不同族的二母线必相交，即对于(11)，其上有以λ及μ为参数的母线族对于(4)，其上有母线族能用直线生成的曲面称为直纹曲面，二次曲面中只有单叶双曲面和双曲抛物面是具有两族母线的直纹曲面。二次柱面和二次锥面是具有一族母线的直纹曲面。而旋转单叶双曲面、圆柱面和直圆锥面既是直纹曲面又是旋转曲面。

4、圆形截线

在二次曲面里，椭圆面、双曲面、锥面、椭圆抛物面以及椭圆柱面都具有圆形截线。如果某一个平面截二次曲面于一个圆周，则所有平行于它的平面也截该曲面于一个圆周。所以一般来说，二次曲面由两族平行平面可以截出圆截线。与其平行的切平面的切点是二次曲面的脐点（或圆点）。

5、超曲面

n维流形中的一个（n-1）维的闭子流形称为该流形中的超曲面。如果这个超曲面是个线性空间，那就称之为超平面。

根据周炜良定理，射影空间中的超曲面一定是代数簇。换句话说，这时的超曲面一定可用多元齐次多项式方程组的零点集来定义。超曲面和超平面相交的公共部分称为超平面截口。

传统上，我们把3维射影空间中的曲面称为超曲面。这样的超曲面是2维代数曲面，它可能带有一些奇点--称为超曲面奇点。

代数几何的一个结论就是：任何代数曲面一定可以压缩到3维射影空间中成为一个超曲面。

在欧氏n维空间里，坐标（x1,x2,…,xn）之间的二次方程，可设矩阵A=(αik)为对称矩阵;A为非零矩阵所表示的点集称为n维欧氏空间里的二次超曲面，或简称二次曲面。当n=2时,它成为二次曲线。当n=3时成为二次曲面。上述关于二次曲面的分类等理论，可以推广到n维的情况,即可以根据n维欧氏空间的坐标变换，将方程化为标准型,由于n+1阶方阵与n阶方阵A二者秩数间的不同关系可以得到各种不同情况。对偶地可以定义二级超曲面，它是二级曲线与二级曲面的高维推广。

6、判别法

对于二次曲面的一般式

Ax^2+By^2+Cz^2+2Dyz+2Exz+2Fxy+2Gx+2Hy+2Iz+J=0

....|A...F...E...G|...............|A...F...E|

....|F...B...D...H|...........δ=|F...B...D|...........................S=A+B+C

Δ=|E...D...C...I|...............|E...D...C|

....|G...H....I....J|......................................................称为二次曲面的不变量。

又设

.............|A...F...G|...............|B...D...H|...............|A...E...G|

.......Δ1=|F...B...H|.........Δ2=|D...C....I|.........Δ3=|E...C....I|..........Δ0=Δ1+Δ2+Δ3

.............|G...H...J|................|H....I....J|...............|G....I....J|

δ0=|A...F|+|B...D|+|A...E|

......|F...B|....|D...C|....|E...C|..................S1=A+B............S2=B+C..............S3=A+C