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二次型（quadraticform），线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。
中文名：二次型
英文名：quadraticform
起源：二次曲线方程
属于：学术
1、简介
设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij*x_i*x_j这里aij是系数，满足aij=aji，则称f为n元二次型。
将系数按照下标i、j排成矩阵，亦即将放在第i行第j列的位置上。这样我们得到一个对称矩阵，记为M。
如果我们记向量X=(x_1,x_2,...,x_n)`（即向量X的转置），那么二次型f（x_1,x_2,...,x_n）即可表示为
f(x_1,x_2,...,x_n)=X`MX
这里的X`MX即为矩阵的乘法。
2、历史
二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特（j-r.p.hachette）、蒙日和泊松（s.d.poisson，1781~1840）建立的。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
1851，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。
1858年，维尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。维尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。
3、内容
式1
若V是域F上的线性空间，q是从V到F的一个映射，使q(x)=φ(x,x），x∈V，式中φ是V上的对称双线性型，则q称为V上的二次型。当域F的特征不为2时，则φ由q唯一决定。此时φ(x,x）称为V上的二次型或二次齐式，而φ(x,y）称为此二次型的极型。
式2
若{e1,e2，…，en}为V的基底，则（式1），于是，二次型φ(x,x）可表为（式2）式中（式3），（式4），j,k=1,2，…，n。令（式5）则（式6），j,k=1,2，…，n。
式3
于是⑴可唯一地表为对称形式（式7）式中（式8）是对称矩阵，且称为二次型φ(x，x）在基底e1，e2，…，en之下的矩阵。A的秩rankA称为此二次型的秩，记为rankφ。当V的基底改变时，即（e1',e2',...,en')=(e1,e2,...,en)^T，二次型φ(x,x）在新基底e1',e2'，…，en'之下的矩阵变成B=PAP^T，仍为对称矩阵，且与A是合同的。
所以，研究二次型的合同性可归结为研究对称矩阵的合同性。
式4
V上的二次型也可看成F上的变元x1,x2，…，xn的二次齐次函数，又称为n元二次齐式或n元二次型，它与对称矩阵和对称双线性型都是一一对应的。当F为实数域R时，可以证明必有V的一组基底使二次型φ(x,x）有如下的形式（式11），⑶式中p+q=rankA。⑶称为实二次型φ(x，x）的实标准形。若⑶中的系数不限于±1，则⑶又可化为（式12），⑷并称为实二次型φ(x,x）的实对角型。式中αj、bk均大于零。
式5
所谓惯性定理，即实二次型φ(x,x）中的p、q、p┡、q┡必满足p=p┡，q=q┡，亦即⑶中的p、q或⑷中的p┡、q┡是由φ(x,x）唯一决定的
合同不变量，分别称之为φ(x,x）的正、负惯性指标，而s=p-q称为φ(x,x）的符号差。易知，rankφ、s、p、q四个数都是合同不变量，其中任意两个都可唯一决定标准形⑶。
式6
当F为复数域C时，作为实二次型的推广有所谓埃尔米特二次型。若V为C上的线性空间，从VXV到C的映射φ满足φ（α1x1+α2x2,y)=α1φ（x1,y)+α2φ（x2,y），（式14），式中x,y在V中，α1、α2在C中，则φ称为V上的埃尔米特双线性型。由此可推出（式15）（式16），式中x、yj在V中，b1上横线、b2上横线是b1、b2的共轭复数，均在C中。此时φ(x,x）称为埃尔米特二次型。易知，φ(x,x）∈R。
式7
若{e1,e2，…，en}是V的基底，（式17），则（式18）（式19），式中ajk=φ(ej,ek），A=(ajk)n*n，且A=A横线的转置矩阵。因此，当V的基底取定时，埃尔米特二次型φ(x，x)则由一个埃尔米特矩阵唯一确定。实二次型的基本性质都可推广到埃尔米特二次型上。
式8
所谓正定（恒正）的埃尔米特二次型或正定的实二次型φ(x,x）是指对于V的非零向量x，有φ(x,x)>0。可以证明，对于φ(x,x），下述的命题是等价的：①φ(x,x）是正定的。②A是正定矩阵。③有非奇异矩阵Q使A=Q*Q，式中Q*表Q的共轭转置矩阵。④有对角元全为正的上三角矩阵M，使A=M*M，式中M*表M的共轭转置矩阵。⑤A的所有主子式全为正。⑥A的j阶主子式之和全为正，j=1,2，…，n，这里n=dimV。⑦A的所有左上角主子式（顺序主子式）全为正。⑧A的所有特征值全为正。⑨φ(x，x）的正项指标p=n，这里n=dimV。
式11
若将上述正定定义中的“>”，分别换为"≥"、“
式12条件。φ负定即-φ正定，φ半负定即－φ半正定，由此可得出负定、半负定的某些充分必要条件。
式14
埃尔米特二次型与实二次型分别在酉变换与正交变换下的性质，无论是在理论上还是在实用上都具有重要的意义。在酉变换（正交变换）下，化埃尔米特二次型（实二次型）为标准形时，可先在V的任一基底下找出埃尔米特二次型对应的埃尔米特矩阵A，再求出A的全部特征值，即得φ(x,x）的标准形，式中的（y1，y2，…，yn）是x在V某一基底下的坐标；λ1,λ2，…，λn是φ(x,x）在V的任意基底下的对应矩阵A的全体特征值。
式17
埃尔米特矩阵必有n个线性无关的特征向量。令以λ1，λ2，…，λn为对角元的对角矩阵，则M的列向量依次为各λj对应的A的特征向量，将这些向量正交化，即得所求的酉矩阵。实二次型为埃尔米特型的特例，所以也可用此方法求出实二次型的正交矩阵。
式18
二次型的理论在物理学、几何学、概率论等学科中都已得到了广泛的应用。在二次型的研究中已由域上二次型的算术理论发展到环上二次型的算术理论，它们与代数数论、数的几何等都有密切的联系。此外，在多重线性代数中使用二次型还可定义比外代数更广的克利福特代数。