偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数(EvenFunction)。偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能称为偶函数。

1、来源

最早的奇偶函数的定义

1927年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念。若用-x代替x,函数保持不变，则称这样的函数为偶函数(拉丁文functionespares)。欧拉列举了三类偶函数和三类奇函数，并讨论了奇偶函数的性质。法国数学家达朗贝尔(J.R.D.Alembert，1717-1783)在狄德罗(D.Diderot,1713-1784)主编的《大百科全书》第7卷（1757年出版）关于函数的词条中说：“古代几何学家，更确切地说是古代分析学家，将某个量x的不同次幂称为x的函数．”类似地，法国数学家拉格朗日《解析函数论》（1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”，后来，其涵义被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰·伯努利最早采用了后一涵义。在1727年的论文中，欧拉在讨论奇、偶函数时确实没有涉及任何超越函数。因此，最早的奇、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言，欧拉提出的“奇函数”、“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数，指数为奇数的幂函数为奇函数。

《无穷分析引论》中的奇、偶函数概念

1748年,欧拉出版他的数学名著《无穷分析引论》，将函数确立为分析学的最基本的研究对象．在第一章，他给出了函数的定义、对函数进行了分类，并再次讨论了两类特殊的函数：偶函数和奇函数。欧拉给出的奇、偶函数定义与1727年论文中的定义实质上并无二致，但他讨论了更多类型的奇、偶函数，也给出了奇函数的更多的性质。

欧拉的困惑和失误

欧拉认为，函数与函数是等价的，所以尽管奇函数与偶函数的乘积为奇函数，但有时这样的乘积也可能会是偶函数。鉴于此，欧拉提出，要使一个偶函数的幂仍为偶函数，就必须对幂指数进行限制，特别的，如果指数为分数，那么它的分母就不能为偶数。在将偶函数定义为和的复合函数时，欧拉特别增加了一个限制条件：中不能含有之类的根式。显然，欧拉未能区别函数和函数。

法文和英文中的奇偶函数

虽然达朗贝尔在《大百科全书》中给出了函数的定义，并介绍了有理函数、无理函数、齐次函数、相似函数，但只字未提“奇函数”和“偶函数”这两种特殊函数。

1786年，法国人裴奇（F.pezzi）将《无穷分析引论》第1卷译成了法文，“奇函数”和“偶函数”分别被译为“fonctionpaire”“fonctionimpaire”,这是两个数学名词在法文中的首次出现。

1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre）(1752-1833)向科学院提交论文“关于椭圆超越性”中提出了“正弦函数的偶函数”。勒让德可能沿用了裴奇的译名或直接翻译了欧拉的名词。这里我们需要指出的是，将“偶函数”“奇函数”的拉丁文翻译成对应的法文，并不会产生不同的译法，因为最迟在笛卡儿（R.Descartes,1596-1650）的《几何学》中已经有了法文的“偶数”（nombrespairs）和“奇数”(nombresimpairs)之名。

“奇函数”、“偶函数”这两个名称在18世纪末的法国并未得到普遍使用；或者说，函数的奇偶性还没有受到当时法国数学家的普遍关注。1796年，法国数学家拉贝将《无穷分析引论》全书译成法文，其中拉贝同样将“奇函数”、“偶函数”分别译为“fonctionpaire”“fonctionimpaire”

1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace,1768-1843）将勒让德的论文译成英文，发表在《数学文库》(MathematicsRepository)上。华里司很自然地将“functionpaire”译为“evenfunction”。这是“evenfunction”这个词在英语世界中的首次出现。不过，在英国著名数学家胡顿（C.Hutton，1737-1823）于1815年出版的《数学与哲学辞典》中，虽然有“函数”和“微积分中的函数”这两个词条，但奇、偶函数念却付之阙如。而德摩根的《代数学基础》（伟烈亚力和李善兰译为《代数学》）虽对函数进行了清晰地分类，但仍只字未提奇、偶函数。在美国，数学家罗密士（E.Loomis,1811-1889）的微积分畅销书《解析几何与微积分基础》（李善兰与伟烈亚力译为《代微积拾级》）虽然给出了隐函数、显函数、增函数、减函数之名，但同样不含奇、偶函数之说。这说明，奇、偶函数概念以及华里司所引入的新名词在19世纪上半叶的英语世界里尚未得到广泛传播和普遍关注．相应地，两个概念也就不见于中国晚清的西方数学译著。直到20世纪初，两个概念才传入中国。1938年出版的《算学名词汇编》和1945年出版的《数学名词》中都收录了两个名词。

2、公式

1、如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足f(x)=f(-x)如y=x*x；2、如果知道图像,偶函数图像关于y轴（直线x=0）对称.

3、定义域D关于原点对称是这个函数成为偶函数的必要不充分条件.

例如:f(x)=x^2,x∈R，此时的f(x)为偶函数.f(x)=x^2,x∈(-2,2](f(x)等于x的平方,-2

相关函数：奇函数，非奇非偶函数。

3、判定方法

代数判断法

主要是根据奇偶函数的定义，先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇函数；f(-x)=f(x)的是偶函数。

几何判断法

关于原点对称的函数是奇函数，关于Y轴对称的函数是偶函数。

如果f(x)为偶函数，则f(x+a)=f

但如果f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a)

运算法则

(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数

(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数

(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数(7)奇函数一定满足f(0)=0（因为F（0）这个表达式表示0在定义域范围内，F(0)就必须为0）所以不一定奇函数有f(0)，但有F（0）时F（0）必须等于0，不一定有f(0)=0，推出奇函数，此时函数不一定为奇函数，例f(x)=x^2.

(8)定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；因为定义域在R上，所以在x=0点存在f(0)，要想关于原点对称，在原点又只能取一个y值，只能是f(0)=0。这是一条可以直接用的结论：当x可以取0，f（x）又是奇函数时，f（0）=0）。

(9)当且仅当f（x）=0（定义域关于原点对称）时，f（x）既是奇函数又是偶函数。

(10)在对称区间上，被积函数为奇函数的定积分为零。