全微分

如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx,Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√)，此时称函数z=f(x,y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。

1、定义

函数z=f(x,y)的两个偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量Δx,Δy乘积之和fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy或f'x(x,y)Δx+f'y(x,y)Δy若该表达式与函数的全增量Δz之差，

是当ρ→0时的高阶无穷小（

）,

那么该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。

定理1如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。

定理2若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

2、公式

dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy或

dz=f'x(x,y)Δx+f'y(x,y)Δy