广义函数

古典的函数概念是以点为基础的,但无法表达集中质量所对应的密度分布。因此,把一点的函数值定义为,包括该点的某个区域的平均值,才有真实意义。据此对通常函数概念作更加抽象的推广,就得到“分布”或“广义函数”,δ函数*就是一种广义函数。广义函数在应用数学*、偏微分方程、概率论*及量子力学中有广泛的应用。它的理论是1936年由前苏联的索波列夫(С。оболев,1908-)奠定,1945年由L·施瓦茨(L.Schwartz,法,1915-)加以发展。

中文名称：广义函数

外文名称：generalizedfunction,distribution

解：释：是古典函数概念

拼：音：guangyihanshu

1、概念由来

历史上第一个广义函数是由英国物理学家迪拉克引进的。他为叙述量子力学中某些量的关系而引进一种按通常函数概念所无法理解的奇特函数,被称为迪拉克-δ函数。通过对这个并“不存在的”函数δ的一些运算操作,竟能得到正确的结论,这在当时是令人费解的。

1936年,原苏联数学家索伯列夫引入广义导数之后,将δ(n)(x-α)视为开集Ω上无限次可微且具紧支集的函数空间D(Ω)上的线性泛函,即δ(n):g|→g(n)(a)。他的这种处理方式不仅在数学上完全可以接受,而且在双曲型方程的柯西问题中取得了重要成功。索伯列夫给出偏微分方程广义解的概念和第一个广义函数的严格定义,对广义函数的建立有着重要影响。

随着泛函分析的发展,终于在1945年出现了法国数学家施瓦尔茨建立的分布论,他在前人工作的基础上,建立了广义函数的完整理论。紧接着,原苏联数学家盖尔范德发展了广义函数理论及其在微分方程中的应用。此外,在广义函数理论形成和发展的过程中做出重要工作的还有法国数学家阿达马等。

广义函数论把函数概念提高到一个新的阶段,强有力地推动了偏微分方程的发展,同时被广泛应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他分支。

2、详细说明

亦称分布。定义在一类“性质很好”的函数空间上的连续线性泛函,它来源于量子力学中的狄喇克δ函数,是经典的函数概念的推广。

考虑某个一维的温度分布T(x),“测得在点x0的温度T(x0)”是无法精确实现的,任何精密的仪器测量到的都至多是x0附近温度的综合平均效应。粗糙地说,实际能测量的是值

∫+∞-∞T(x)φ(x)dx,

这里φ表示“综合平均”的权重。各种各样的测量相当于φ在某个函数类F中变化。原则上说,人们要了解的“点-点函数”T(x)等于了解数集

自然,这里的F是一个充分大的函数类。换言之,对函数来说不必一定用经典方式,即一定要知道每点x0处相应的T(x0),而把函数看做作用于某个函数类F上的泛函:φ→(T,φ),其中

最简单的泛函就是连续线性泛函。广义函数就是某种函数空间上的连续线性泛函。

在泛函分析观念下的广义函数论中,测试用的函数空间F通常称为基本函数空间(参见“基本函数空间K”等)。由于F的选择不同,因而出现不同空间上的广义函数,有的是此空间上的广义函数,而非另一空间上的广义函数,但一般总是选择F是由性质既充分良好(例如充分光滑的函数)又充分多的函数构成的线性空间,并按一定拓扑完备。如此选择的目的无非是使得相当多的普通函数都能视为广义函数,更重要的目的是使广义函数具有预期的很好的分析性质(如可微性,逐项可微性等)。

广义函数是泛函分析的一个重要分支,被广泛应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各分支,例如微分方程、随机方程、流形理论等。它还被应用到群的表示理论,特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。最早用泛函分析观点为广义函数论建立起一整套严格理论,是由施瓦兹(Schwarz,L)于1945年实现的。