百钱买百鸡的问题

百鸡问题是一个数学题目，源于古代中国约5—6新世纪成册的《张邱健算经》，是原卷书下第38题，也是本书的最终一题。题今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鸡雏各几何图形？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。

原书沒有得出解法，我国古算书的知名校勘者甄鸾和李淳风注解此书时都没得出解法，仅有约6新世纪的谢察微记叙过一种算不上恰当的解法。来到清朝，科学研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风应用大衍求一术解决了百鸡问题，此后百鸡问题和百鸡术才广为流传。百鸡问题的表达方式也愈来愈多，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。

事实上，《算经》中明确提出的数学题目简而言之便是大家现代数学常说的百钱买百鸡问题，一只公鸡值钱5，一只母鸡值钱3，三只小鸡值钱1，一百块钱怎样才能购到100只鸡，而且购到的小鸡，母鸡，公鸡各多少钱呢？从现代数学见解看来，是一个求不确定方程的题型。

假定公鸡、母鸡、小鸡各自为x、y、z 只，由文题得：

①……x+y+z =100

②……5x+3y (1/3)z =100

有两个方程组，三个未知量，称之为不确定方程，有多种多样解。

令②×3－①得：7x+4y=100；

因此 y=(100-7x)/4=25-2x+x/4

令x/4=t, （t为整数金额）因此 x=4t

把x=4t带入7x+4y=100获得：y=25-7t

容易得到z=75+3t

因此 ：x=4t

y=25-7t

z=75+3t

由于x,y,z为正整数

因此 4t大于0

25-7t超过0

75+3t大于0

解得t大于0不大于25/7又由于t为整数金额

因此 t=1时

x =4；y =18；z =78

当t=2时

x =8；y =11；z =81

当t=3时

x =12；y =4；z =84

由于x、y、z都务必低于100且全是正整数，因此 仅有之上三组解合乎文题： ①买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ②或买公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③或买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；

如果不规定全是正整数得话，当t=0时，,那麼x=0，因此 y=25，z=75 。

由上边计算获知，不规定公鸡、母鸡、小鸡都买得话，一共有四种计划方案能够考虑百钱买百鸡；假如规定公鸡、母鸡、小鸡都必须选购得话，那麼就会有三种买鸡的计划方案能够考虑百钱买百鸡。