阿基里斯追上乌龟了吗？

公元前五世纪，芝诺发布了知名的阿基里斯悖论：他明确提出让乌龟在阿基里斯前边一千米处刚开始，和阿基里斯百米赛跑，而且假设阿基里斯的速率是乌龟的10倍。当上场比赛后，若阿基里斯跑了一千米，设常用的时间为t，这时乌龟便领跑他一百米；当阿基里斯跑完下一个一百米时，他常用的时间为t/10，乌龟依然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他常用的时间为t/100，乌龟依然前于他一米…… 芝诺觉得，阿基里斯可以再次靠近乌龟，但决不将会追上它。有关阿基里斯悖论的一个表述是：阿基里斯始终也追赶不上乌龟。尽管实际中我们知道阿基里斯跨越乌龟比较简单，可是它是怎样超出乌龟的过去却一直存有争执。

悖论假定阿基里斯始终只有抵达乌龟前一个时间段抵达的地区，即追上的是前一个时间段的乌龟，这时标准未产生变化，因而，认可此时间段二者间仍有差别，随后用不一样的时间段开展反复计算。假定标准仍未转变，而在这里时间段的下一个规格同样的时间段里，阿基米斯便会追上。

实际上，大家依据初中所教过的无限等比递缩数列求和的专业知识，只需列一个方程组就可以易如反掌地打倒芝诺的悖论：阿基里斯在跑了1000（1 0.1 0.01 ……）=1000 (1 1/9)=10000/9米时便可追上乌龟，并跨越乌龟。大家觉得数列1 0.1 0.01 ……是始终也不可以可循的。这只不过一个幻觉。大家何不来测算一下阿基里斯可以追上乌龟的时间为 （1 0.1 0.01 ……）= t (1 1/9)=10t/9，芝诺常说的阿基里斯不太可能追上乌龟，就掩藏着时间务必低于10t/9那样一个标准。因为阿基里斯和乌龟是在不断健身运动的，对时间是沒有限定的，时间非常容易提升10t/9那样一个标准。一旦提升10t/9那样一个标准，阿基里斯就追上或超出了乌龟。

因此，大家被间距数列1 0.1 0.01 ……好像是始终也不可以可循的错觉蒙蔽了，沒有充分考虑时间数列1 0.1 0.01 ……是非常容易做到和超出的。

实际上，在这个证实里，还采用了“極限”这一定义。極限这一定义，更是以便处理阿基里斯悖论而界定出去的一个定义。用这一定义再反证这一悖论很显著是不科学的。无尽的细分化并不意味着不容易从时间1注入时间2，不然你的数字时钟将始终滞留在59分59.9999……秒。

阿基里斯可以再次靠近乌龟，在某一时间点以前没法追上。但始终追赶不上这一結果并不创立，由于这一悖论只正确引导去考虑到追上以前的间距，而不是追上的这一间距。悖论暗含的假定便是阿基里斯沒有追上龟，怎么回事？阿基里斯的每一段，全是乌龟跑完后，才让阿基里斯跑的。仅仅主观臆断地用了一开始的间距差，而这一间距差为逐段缩小。（是不是能变为零，便是你说了算）而这一趋于全过程又想要时间考量，正好时间和间距，都能够无尽区划。静止不动也存有那样的贴近全过程，举个事例：假定乌龟是静止不动的，让阿基里斯以那样的方法跑900米，90米，9米，0.9米……，那样他也追赶不上乌龟，也一样变不了零，由于假定便是间距的无限小，这仅仅在找寻最少的间距。这一关联就到極限了，如同在找最小的物质颗粒一样。