游戏与概率有何不解之缘？

概率论作为数学的一个重要分支，是科学研究的重要工具。概率在我们的日常生活中也经常被提及，或者其他术语，如“概率”和“可能性”。随着20世纪量子理论的兴起，整个世界变成了“概率”，以前的严格决定论已经被不确定性原则所取代。爱因斯坦的经典名言“上帝永远不会掷骰子”认为，每个人都听说过概率已经从一种工具上升到一种世界观。概率从何而来，它起源于游戏吗？

概率论是如何从游戏中产生的？

在谈了半天“概率”之后，让我们先了解一下概率的定义。概率是随机事件概率的量度。有些人也称之为几率、概率等。它通常用0到1之间的数字来表示。有时我们也用百分比来表示。原因是一样的！1或100%意味着这个事件肯定会发生。另一方面，0或0%(实际上仍然是0)意味着事件肯定不会发生。介于0和1之间的数字表示事件发生的可能性。事件发生的可能性越大，反之亦然。概率论可以理解为概率论。

概率论的诞生相当引人注目。在文艺复兴时期，一位名叫卡尔达诺的意大利学者(也被翻译成卡达姆)是一位研究数学、物理和占星术的全才。他也是一名医学博士。他唯一的缺点是擅长赌博，而且赌博运气不好。当时，赌博是最简单的骰子游戏，也就是骰子游戏。我们的小豆蔻在这个小骰子上输了很多钱。卡达诺先生充分发挥了他的专业技能，开始研究如何在骰子上下注，最后编写了一本专著《论赌博游戏》。在这本书里，cardano描述了经典的概率模型，并得出结论，“如果同时掷出两个骰子，出现的点数之和是7，这是最有可能的”。我只是不知道这个结论是否让卡达诺在掷骰子游戏中领先。

同样，100多年后，法国赌徒谢瓦利埃·德·米尔(也翻译成米尔)遇到了另一个概率问题。他用两种方法玩骰子。一个是掷骰子四次，看他能否在四次中掷出一个6。另一种是同时掷出两个骰子，连续24次，看是否有12点和。梅内认为两人同样有可能获胜，但事实是他在第一场比赛中赢的更多，在第二场比赛中输的更多。

梅内不像卡达诺那样是个数学家，但梅内有懂数学的朋友。梅内向当时著名的数学家帕斯卡(即物理学家帕斯卡，也是数学家)解释了他的问题。除了这个问题，梅内在赌桌上还遇到了其他几个难题，包括著名的“赌博分配”问题。这些问题引起了帕斯卡的兴趣。在接下来的几年里，他和另一位数学家费马交换了信件，解决了赌博分布的问题并定义了概率。后来，惠更斯加入进来，在讨论的基础上写了《论赌博中的计算》。这也被认为是概率论的第一项工作。书中描述了概率论的基本公理体系。从那时起，概率论就从骰子游戏中分离出来了。

概率如何融入游戏？

此后的漫长岁月见证了概率论的发展及其在社会各个领域的应用。在过去的一个世纪里，我们的游戏也开始呈现出一种新的形式——桌面游戏。严格地说，桌面游戏的历史可以追溯到几千年前，但是桌面游戏的复兴直到20世纪初才开始。

在中国，“三国杀戮”是桌游突然流行的原因。近年来，《三国演义》可谓席卷全国，连续多年占据国内桌游销售榜首。另一方面，除了以三国历史为背景外，游戏的平衡性好，技巧设计合理。为了确保每个玩家都能很好地体验游戏，每个技能的力量应该大致相等，这需要概率来支持。让我们举个例子来看看概率是如何支持这个游戏的。

周瑜的“子婴”(子婴:摸牌阶段多摸一张牌)、丢单的“闭月”(回合结束时可以摸一张牌)和贞吉的“洛神”(洛神:回合开始时可以判断)。如果牌是黑色的，你可以立即拿到这张牌，然后再次使用洛神，依此类推，直到出现红色的审判牌。)

这三项技能是补充标准版卡片的好技能。第一个“子婴”和第二个“舒悦”除了不同的时间点外，具有相同的力量。他们都碰了一张牌。然而，在使用“洛神”技能的不确定性要大得多。有人说“洛神”技能太强大了，一次不能摸很多牌。有人说“洛神”太弱了，连一张牌都碰不到。为了准确测量“落神”的强度，我们引入概率论来解释这个问题。

回顾以往的基本定义，结合以上例子，不难发现《子婴》和《闭月》的碰牌概率为100%，而罗申的话的概率相对比较麻烦。我们首先需要知道卡片库的组成。首先要知道的是，这三个国家已经杀死了图书馆里一半的红卡和一半的黑卡。如果图书馆用光了，牌会被洗牌。假设库是无限的，红黑卡的概率等于0.5。如果第一张牌是红色的，则该技能结束。如果是黑色的，我们可以打开另一个。红色和黑色的可能性相等，一半一半，那么第二张卡片碰到红色卡片的概率是0.5平方，也就是0.25。此时，罗申的收入是1，依此类推，可以得到下表。

为了计算最终总收入，我们引入了概率论中的另一个重要概念——“期望”。

期望值是指所有可能值的乘积及其相应概率的总和。在这个例子中，可能的值指的是洛神的收入，即第一行，而相应的概率指的是同一列中最后一行的值，它们被相乘然后相加。

那么，罗申的预期收入可以用这个公式来表示

p罗申= 0×0.5+1×0.52+2×0.53+3×0.54+4×0.55+…+n×0.5n+1

在这个公式中，p是英语单词“利润”的缩写，n是正整数，趋向于无穷大。

现在，我们有了公式，但是我们如何计算它呢？这个公式可以看作是级数的和，但它不是算术级数或几何级数，而是两个级数的混合。面对这种级数求和，我们可以用“位错减法”。

具体方法是将整个公式乘以0.5，公式变为

0.5×P洛神= 0× 0.52+1× 0.53+2× 0.54+3× 0.55+...+(n-1) × 0.5n+1+n× 0.5n+2

减去两个公式，并相应地减去0.5的相同幂项，从而得到

0.5×P洛神= 0.52+0.53+0.54+0.55+…+0.5N+N×0.5N+2

这样，我们可以看到熟悉的几何级数。利用等比例数列的求和公式，Sn=a1(qn)/(q)，(其中a1是第一项，Q是公比)

p罗申=(1+0.5×n)×0.5n

当n=10时，洛神的预期收益率为0.994≈1。当n更有价值时，预期回报将变得更接近1，并且n等于几，这意味着您限制了要抽取的最大牌数，而预期回报约为1，这意味着当多次使用此技能时，每次赢得的平均牌数将稳定。这相当于周瑜的“英雄气度”和丢辛的“闭月”故事。不同的是“子婴”和“舒悦”一次稳定一个，而“洛神”被多次使用，平均一次一个。将会有不止一个并且将会有一个不能被获得，但是多重使用的平均效果将是一个。在保证预期收入相等的情况下，增加了技能的变化，丰富了游戏的可玩性。因此，概率默默地支持游戏机制的平衡。

当然，概率论在游戏中的应用并不限于此。事实上，概率论也应用于一些大型电子游戏中。有些概率甚至可以在游戏面板上反映出来让我们看到，比如RPG游戏中的数值，有些概率只能看到相应的随机事件的发生，比如射击游戏中的子弹轨迹。可以说，有了概率论和计算机处理器强大的计算能力，游戏世界变得更加多变，更加贴近我们的现实生活。

参考:数学理论:在意想不到的地方遇到现实