趣味数学故事——日神提出的一个难题

传说在公元前4世纪，一种流行病在古希腊的雅典流行。为了消除灾难，雅典人求助于日本神。日本神说，“如果疫情不流行，我家门前的立方体香案必须加倍。”这种情况让雅典人很高兴，他们认为这很容易做到，所以他们把旧香案的边缘对折，做了一个新的立方体香案。然而，疫情更加猖獗。当雅典人再次向日本神祈祷时，他们意识到新香案没有旧香案大两倍。这让当时的人们感到困惑，甚至最著名的学者柏拉图也感到无能为力。

这是几何绘图中著名的双立方体问题。用数学语言来表达它是:"如果一个立方体是已知的，找到另一个立方体，使它的体积等于已知立方体的两倍。"这个问题，连同角三分问题和圆变成正方形的问题，构成了初等几何映射中的三个主要映射问题。

双立方体问题不能解决的原因是只有圆规和没有刻度的尺子才能用来绘图。这是古希腊对制图的要求。欧几里德在他的《几何元素》中也明确指出，只有尺子和圆规才能用于绘画。这把尺子没有刻度，只能用来“画一条直线或者把一条线段延伸通过两点”。圆规只能画圆或画弧。此外，在任何绘图问题中，尺子和圆规只能使用有限的次数。这条规则一直延续到现在。使用直尺和圆规，可以画出三个基本图形:画线、画圆和寻找交点。任何由这三种基本技术通过有限的组合组成的图形都被认为是用尺子和圆规画的。否则，绘图不成问题。双立方体问题就是这种情况。假设立方体的边长是1个单位，立方体的体积是1的三次方，等于1。根据需求，所需立方体的体积是原始立方体的两倍，即1×2=2。因此，边长为2的三次方根的无理数不能用有限次的直线、圆和交点来画。因此，立方二重问题不能用尺子和圆规来解决。