数列的由来

小学数学故事:序列的起源

很久很久以前，有一个贫穷的单身汉，他只知道如何懒洋洋地吃饭和做事，拒绝现实地做事，经常梦想赚钱。一天，他在路边发现了一个鸡蛋。他非常开心。抱着鸡蛋，他开始在心里想:“我借别人的母鸡把这个鸡蛋孵成小鸡。当小鸡长大了，我可以下蛋了。我可以把鸡蛋孵化成小鸡。这些鸡能产更多的蛋，蛋能变成更多的鸡。几年后，我可以用鸡蛋和鸡换很多钱。然后我可以盖一栋新房子，娶一个漂亮的媳妇生孩子……”他越想越开心。他忍不住欢欣雀跃。懒汉看着打碎的鸡蛋，大声喊道:“哦，我的宝贝！我的房子！……”

上面的笑话流传已久，对我们有很大的教育意义。然而，恐怕没有人认真计算过:如果鸡蛋没有被打破，几年后这个懒汉会有多少鸡和鸡蛋？然而，在公元1202年，意大利比萨商人斐波那契(约1170-1250？)在他的《算盘》一书中(这里的“算盘”指的是沙盘计算)，他提出了一个“养兔问题”，但无数人已经计算过了。这个问题说:

有人买回了一对兔子，一个月后兔子变成了大兔子。又过了一个月，大兔子生了一对小兔子。此后，每对大兔子每个月都会生一对小兔子。一个月后，小兔子长成了大兔子。按照这个速度，这个人一年会有多少对兔子？

你能想出来吗？恐怕许多学生已经读完了这些问题，并很快找到了答案。但是我不能保证，是吗？老实说，要正确计算这个问题并不容易，但是需要小心谨慎地计算。

通常你可以做一张表来计算这个问题:

填写几行后，您可以得出几个结论:

(1)每月大兔子的数量是上月兔子的总数。(因为上个月的兔子在这个月成长为大兔子)

(2)每月兔子的数量是上个月大兔子的数量。(因为上个月大兔子这个月必须要有一对小兔子，上个月小兔子长成了大兔子，但是没有兔子。每月兔子的数量是上个月兔子的总数。

(3)每月兔子总数是当月大小兔子的总数。根据(1)和(2)，每个月的兔子数量等于前一个月和前一个月的兔子数量之和。

如果第n个月的兔子数量是fn，则有

f0+f1=f2，f1+f2=f3，f2+f3=f4……

一般来说，有fn-2+fn-1=fn。按照这个规则，填写这张表格很容易。

你看，养一对兔子会在一年内变成一个养兔场。

根据这条规则，兔子的数量可以一直记下来:

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，...

结果列被称为斐波那契序列。

波兰数学家斯坦豪斯在其著名的著作《数学万花筒》中提出了一个问题:

一年后，一棵树会长出新的枝条，一年后新的枝条会变成老的枝条，老的枝条每年都会长出新的枝条。如果这种情况继续下去，十年内会有多少新的分支机构？

这恰好是斐波那契数。

人们从“斐济”数字中得到许多有用和有趣的结果。例如，“斐济”数与黄金分割(0.618)之间的关系至今仍在优化方法和运输调度理论中发挥着基础性作用。另一个例子是向日葵种植者在向日葵种子分布规律上发现的“斐济”数，甚至在许多植物的花瓣和叶子序列上发现的“斐济”数，形成了尚未解开的“叶子序列之谜”。可以看出，“兔子问题”揭示了自然界的普遍奥秘。