数学家发现地砖新花样

一种新发现的五边形，可以覆盖平坦的表面，没有重叠和缝隙。这是第15个可以镶嵌飞机的五角大楼，也是过去30年来的第一个新发现。

图中所有的五边形都是全等的。绘图仪用三种颜色填充五边形，表明它们以三个一组的方式嵌入整个平面。照片:凯西·曼

在图形马赛克领域，没有什么比这一发现更令人惊奇的了，而在瓷砖行业——我敢打赌他们也会对此产生浓厚的兴趣。

在数学中，如果你只能用一个形状覆盖一个平面而没有重叠和缝隙，那么这个形状就叫做平面的“马赛克”。

显然，任何种类的三角形和任何种类的四边形都可以嵌入平面(如果你不相信，你可以自己试试)。然而，当五边形被考虑进去时，事情就变得有趣了。规则的五边形不能镶嵌平面(规则的五边形是边和角相等的图形，像秋葵的横截面或五边形)，但是一些特殊的不规则五边形可以。

德国数学家卡尔·莱因哈特在1918年发现了五个可以镶嵌平面的五边形。从那时起，寻找可以镶嵌平面的五边形并对它们进行分类就成了一个数学世纪的问题。

(他发现的不是五个特定的五边形，而是五个五边形类别，每个类别可以用一个方程来描述。感兴趣的读者可以在下面的网站上了解更多关于这五个方程的信息:http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html.为了简化问题，我们将只讨论凸五边形，也就是所有五个角都突出的五边形。)

许多人认为莱因哈特已经发现了所有可以镶嵌平面的五边形，但事实并非如此:1968年，R·B·克什纳又发现了三个五边形。1975年，理查德·詹姆斯创下了9个物种的新纪录。

同年，一位不知名的数学先驱加入了进来——马乔里·赖斯，一位50多岁的圣地亚哥家庭主妇。她从《科学美国人》杂志上得知了詹姆斯的发现。作为一名业余数学家，赖斯发明了自己的数学符号和方法，并发现了另外四个可以在未来几年内镶嵌的五边形。1985年，罗尔夫·斯坦发现了第14个物种。似乎会有更多像这样的五边形。

然而，五角大楼的跟踪似乎已经陷入低谷。直到上个月，华盛顿大学的凯西·曼、珍妮弗·麦克劳德和大卫·方达再次吸引了人们对五角大楼马赛克的关注。他们在下图中发现了“小美人”:

照片:凯西·曼

凯西说:“我们用计算机穷举的方法测试了一个基数大但数量有限的五边形集合。”。"我们对这个小家伙的发现感到非常高兴和有点惊讶。"

大多数数学家仍然对五边形马赛克感兴趣，因为五边形是马赛克中唯一没有被彻底研究过的图形。

如上所述，所有的三角形和四边形都可以用平面来镶嵌。1963年，数学家证明了只有三种凸六边形可以镶嵌平面，而六边以上的凸多边形不能镶嵌平面。然而，可嵌入五边形的分类仍然不完整。

凯西说:“镶嵌凸五边形的分类问题很容易描述，甚至儿童也能理解，但100年来一直没有完美的解决方案。”。“这个问题也有丰富的历史，与著名的希尔伯特23问题中的第18个问题有关。”

五边形镶嵌物的潜在应用价值也为其研究注入了一些活力。“我们在自然界中看到的许多结构——从晶体到病毒——都是由受几何和力学支配的小基本单元组成的，因此统一成一个大结构。”他补充道。

“我很难肯定地预测新的五边形是否会被发现，但迄今为止没有证据表明没有其他五边形，所以我们也许能够找到更多的五边形。然而，随着计算机的耗尽，将会收集到越来越多的数据，我们有望做出最终的预测。”

但是，目前，您只能选择以下15个五边形瓷砖: