和圆一样的三角形

数学之所以重要，不仅因为它是科学理论的基石，还因为数学在日常生活、工业生产甚至艺术美学中得到广泛应用和体现。如果你不知道一些基本的数学知识，即使拥有科学知识的美国宇航局工程师也会犯一些低级错误。例如，今天故事的主角——勒罗伊三角。这个和圆是一个族的多边形。它们不仅性质奇特，而且是制造业的宠儿。它如何渗透到劳动人民中？顽固的理性主义者告诉你。

美国宇航局犯错误不知道勒罗伊三角

历史上，发射美国火箭的过程是这样的:螺旋桨在工厂组装，然后用驳船运输到佛罗里达州肯尼迪航天中心进行整体吊装，最后点火并在发射平台上发射。然而，一些美国国家航空航天局的工程师发现了一个问题:推进器在到达装配厂之前必须向侧面行进数千公里(例如，在加利福尼亚装配的土星5号二级推进器甚至不得不绕过*运河)，但是在这个过程中，推进器可能由于其巨大的重量而变形。对于液体燃料火箭，轻微变形也可能导致燃料泄漏，导致发射事故。为了检查火箭的横截面是否是一个完美的圆，美国宇航局技术人员提出了一个标准。火箭的直径(界面上两个点在这个方向上的最大距离)每60度测量一次。如果三次测量的直径相等，即使不是标准圆，火箭的横截面也几乎相同。

然而，这个计划真的可靠吗？不幸的是，一系列被称为固定宽度曲线的曲线粉碎了他们的幻想。固定宽度曲线是几何图形，其直径(或宽度)在任何方向都是恒定的。当然，圆也是一种定宽曲线，但远不止一种定宽曲线，其中最有代表性的是勒罗伊三角形。

reuleaux三角形

如上图，三个半径相等的圆重叠，两个圆通过圆心。这三个圆相交的部分是勒罗伊三角形，或者它的发现者所说的“弯曲三角形”。如果不幸遇到这样的曲线，无论如何测量直径，美国宇航局的工作人员都会得到同样的结果。

勒罗伊三角形及其兄弟有许多有趣的特征，其中最重要的当然是它们的宽度。用横截面宽度不变的滚木条来搬运东西，不要上下摇晃。事实上，这种装置在许多科技博物馆中都可以看到。下图是柏林博物馆中的固定宽度弯曲轧制木材。等宽曲线的另一个有趣的性质是等宽曲线具有相同的宽度，因此当下图中的圆形轧制木材旋转一个圆时，下一个Leroy三角形轧制木材也正好旋转一个圆。

制造技术的广泛应用

运用上面的擀面杖原理，可以制造出许多有趣的小玩意。例如，我国的劳动人民充分发挥了他们的聪明才智，用等宽曲线轮制造了一辆带角轮的自行车，据说已经成功申请了专利。

有些人会说“角轮自行车”只是一个装饰性的玩具，而不是实用性的，这是真的。那么让我们来看看等宽曲线在汽车工业中的应用。当然，汽车制造商不会用等宽曲线来制造车轮。他们把等宽曲线藏在引擎里，引擎是汽车的核心部分。下图是马自达转子发动机的剖视图。事实上，转子发动机不是一项新发明。早在20世纪50年代，德国工程师汪克尔就制造了第一台转子发动机的原型，因此这种发动机也被称为汪克尔发动机。

熟悉汽车的学生可能已经注意到这种发动机和其他发动机的区别。它没有普通的活塞和曲柄。是的，因为对于转子发动机来说，这些麻烦的东西是完全不必要的，可以用转子来代替。转子的横截面是一个等宽弯曲的勒罗伊三角形，面积最小。无论转子旋转什么角度，气缸都被严格地分成三个部分，进气、压缩、点火和排气都是同时进行的。这样，当转子旋转一次时，工作可以完成三次，效率比传统的四冲程活塞发动机高得多，传统的四冲程活塞发动机每两周才工作一次。与传统的四冲程发动机相比，转子发动机具有体积小、振动和噪声低、结构简单、故障率低等优点。然而，转子发动机也需要更高的材料和技术，并且很难增加功率。因此，目前市场上使用转子发动机的汽车公司并不多。

由于宽度相等，等宽曲线也可以沿正方形的边缘滚动。1914年，一位注意到这一特点的美国工程师发明了方孔钻。方孔钻头的横截面为勒罗伊三角形。为了使钻头更锋利，钻头的一部分被切掉了。工作时，钻头的中心随着钻头的旋转做圆周运动(事实上，这不是严格意义上的圆周运动)，可以钻一个带有轻微圆角的正方形。

方孔钻的分解图。中间齿轮组是旋转钻轴的机构。

在上面的段落中，Leroy三角形非常流行，但是等宽曲线族中并不只有一个成员。在其他地方，我们也可以看到等宽曲线。许多国家的硬币喜欢用等宽曲线作为轮廓。例如，20便士和50便士的英国银币使用由七条弧线组成的固定宽度曲线。此外，在许多艺术作品中，还可以看到各种等宽曲线的形状，这主要是为了提高观赏价值。

参考:

[1]理查德·费曼，“你为什么在乎别人怎么想？”

[2]马丁·加德纳，“意想不到的绞刑和其他数学娱乐。”

[3]汽车回家，汽缸排列入口

[4]斯科特·史密斯，《钻方孔》