扬州通儒焦循与数学著作《加减乘除释》

“我在家乡知道天文学和数学，但从当时的状态来看，台州最好的编辑是陈(侯耀之)。今天，唐力似乎学到了更多。”1799年冬天，山东的一个学政治的学生阮元在读扬州寄来的手稿《唐力学姬叔》时，为这个案子鼓掌。当他读完手稿中的专著“加、减、乘、除和解释”时，他很兴奋，立即写下了最初的几个字。然后，做了两个决定:第一，写序言；第二，将焦循的事迹收入其代表作《周人传》。

阮元形象(来源:Sohu.com)

阮元生活在甘龙、嘉庆、道光三个朝代，被誉为“*九省宰相”、“一代文宗”。周仁的传记也因“中国第一部科学家传记”而闻名。焦循要获得“科技领袖”阮元的美誉，需要做些什么？什么样的书是加法、减法、乘法、除法和解释？

沉迷于计算和钻研古籍

事实上，焦循只是一块布。没有他杰出的才能和对天文历法计算的深入研究，他和阮元不可能有任何交集。

焦循，扬州人，年轻时就读于扬州安定书院。出生在一个没落的农民家庭。虽然他的父亲继承了近1000亩土地，但他不善于管理，失去了家庭。年轻的焦循参加了科举考试，但他的成绩并不令人满意，所以他不得不开一所学校教书以养家糊口。他不是第一个在北京参加科举考试的人。他非常清楚科举考试的弊端。他全心全意地投身于他的仕途，专注于研究儒家经典和天文统计。

焦循32岁的时候，他学习了《算术九章》，并对加法、减法、乘法和除法这四种运算非常感兴趣。为此，他写了一本关于四种操作的书。在他修改之前，他收到了他的好朋友李锐的邀请去山东学习数学。焦循喜欢交朋友。人们有时称他为与李锐和王来“三个朋友交谈”。为了按时赴约，焦循不得不把《算术九章》的初稿按在柜台的底部，准备以后再修改。

《九章算术》是中国古代传统数学的奠基之作。它自汉代问世以来，一直影响着传统数学的发展。以前的学者研究这本书主要从算法开始，为后代解决实际问题提供思路和方法。另一方面，焦循采取了不同的方法，着重研究《九章算术》的内容之间的关系，以使其更加有效。经过研究，他发现这本书侧重于解决实际问题。加法、减法、乘法和除法这四种运算只渗透在解中。当然，这些解决方案都遵循四个操作的相关规则。九章不能用于加、减、乘和除，但加、减、乘和除可以用于九章他激动地写道。

《算术九章》的书影(来源:旧书网)

在焦循看来，总结《九章算术》中四种运算的规律是未来数学发展的方向。因此，他没有忙于修改手稿。相反，他反复研读《算术笔记九章》、《孙子兵法》、《张秋俭心经》等书籍，以求对中国古代传统数学有更全面的了解。

1797年，焦循独自一人住在家中。他翻出压在箱底的加减乘除四则运算手稿，并逐一修改。最后，他完成了一部数学专著，名为“加、减、乘、除和解释”。

数学专著是同类著作中的第一部。

作为中国第一部总结四大运算法则的数学巨著，《加减乘除释》共八卷。基本内容分为以下几个部分:第一卷和第五卷主要讨论加减规则，第二卷主要讨论乘除规则，第三卷主要讨论乘除规则，第四卷和第六卷讨论分数规则，第七卷和第八卷进行总结。这本书总结了这四种运算的性质和规则，总共96种，每一种都相当于一个定理或公式。其中，数学中有五个最基本也是最重要的规则:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律和乘法到加法的分配律。从现代数学理论来看，这些运算在基础数学中占有重要地位。"加数和加数被交换，结果保持不变."在我国数学史上，像这样的四种算法首次以书面形式出现，这四种算法为所有一年级小学生所熟知。

“加减乘除释义”专著(来源:孔子旧书网)

在讨论上述操作规则时，焦循选择了一个非常简洁的方法，即“先列出原则，后忽略目标”。“纲要”是指列举的运算规则或公式，“客观”是指《纲要》之后的《九章算术》等古籍中的问题，以达到“纲要清晰、客观清晰”的效果。

“加、减、乘、除和解释”也讨论了这四种运算之间的关系。例如，焦循在第二卷中提出除法不脱离乘法，乘法实际上是加法。加法的反义词是减法，乘法和除法也是。由此我们知道减法是加法的逆运算，乘法是加法的快速运算，除法是乘法的逆运算。要知道四种运算，首先必须知道加法。这就是为什么小学数学教科书从教学加法开始。

加法、减法、乘法、除法和解释的另一个贡献在于，这本书使用a、b、c和d来表示数字，这些数字与当前代数教科书中使用的拉丁字母a、b、c和d相同。这项开创性的工作充分证明了“加、减、乘、除、解”是第一部用抽象符号表达数学运算规则和公式的专著。它的发表标志着焦循的数学思想进入了理性思维阶段，把中国数学推向了一个新的阶段，给传统数学注入了新的血液。

据说焦循在读完《加减法乘除解释学》后就准备去杭州了。一个是和他的好朋友李锐等人分享他的新作品。二是根据当时在浙江学习政治的阮元的协议，集中研究宋元数学经典。原来他为了挽救宋元数学，一直在整理宋元数学古籍。焦循从事数学研究已有几十年，而“加、减、乘、除和解释”只是其成就之一。科学还有什么其他重要贡献？如果你想知道事情的结果，请听下一章。

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[参考]

1.论文《焦循数学研究》由扬州大学朱家生撰写。

2.论文“焦循数学天文学研究”，作者:王军，内蒙古师范大学。

3.山东大学郑石教授的论文《焦循易学思想探析》。